群のコホモロジー

群のコホモロジーについての詳細

群のコホモロジーは、数学の一分野であるホモロジー代数学における基本的な概念の一つであり、群の性質を探求するために、代数的トポロジーから導入された手法です。この手法は、群をGとし、G加群に対する作用を用いることで、群の特性を明らかにします。

コホモロジー群Hn(G, M)は、Gの加群Mに対なる群作用の固定点や商加群、商空間を考えることによって得られ、これによって群の構造に対する深い洞察を提供します。この技法は、特に群の表現理論や抽象代数、代数的整数論などの分野で幅広く応用されています。

群のコホモロジーと連結性

群Gに対するG加群Mが指定された際、G不変元からなる部分加群を考えることが自然であり、これによって群の1次コホモロジーH1(G, M)は、こうした不変元の関係を正確に捉えることを目的としています。この一連の考察は、低次コホモロジー群の解釈において重要な役割を果たします。

具体的には、すべてのG加群からなる圏を形成し、G加群Mに対して、MGを対応させる関手を構成します。この関手は必ずしも右完全ではないが、右導来関手を持つことで、アーベル群の圏へと繋がります。ここで、Hn(G, M)が群のn次コホモロジー群と呼ばれる所以です。

双対鎖複体と計算方法

群のコホモロジーに関する計算の便宜のために、著者たちは双対鎖複体を利用する場合が多く、その構造は非常に明快です。n ≥ 0に対して、Cn(G, M)をGnからMへの関数全体の集合と定め、これをn次の双対鎖として定義します。この定義において、双対境界作用素dn+1が成り立ち、これによりコホモロジーの計算が可能になります。

コホモロジー群を計算することで、群の構造に関する深い理解が得られるだけでなく、その性質を他の数学的対象へと拡張する手がかりも得られます。特に、群のコホモロジー群Hn(G, M)は、与えられた増大に応じて特異コホモロジーと同型であることが示されています。

低次コホモロジーの重要性

1次コホモロジー群は特に興味深く、交差準同型と呼ばれる構造を持ちます。これにより、全てのGの元に対してf(ab) = f(a) + af(b)を満たす写像の集合として理解されます。また、2次コホモロジー群は、GのMによる中心拡大の類を分類する役割を果たし、非常に重要な性質を持っています。

群のコホモロジーに関する理論は、1920年代に始まり、1940年代には急速に発展し、現在でも活発に研究されています。これに伴い、群のコホモロジーは他の数学の分野と交差しながら進化し続けています。

歴史的背景と発展

1940年ごろ、ハインツ・ホップが群の高次ホモトピー群とホモロジー群に関する重要な公式を発表しました。この公式は基本群に基づいて群の（コ）ホモロジーを理解する端緒となり、その後の研究に大きな影響を与えました。特にEilenbergとMacLaneによる研究は、コホモロジーの現代的な定義を確立し、特異コホモロジーとの関連を強調しました。

今日においても、群のコホモロジーは広範囲に渡る応用を持ち続けており、代数的トポロジーや代数的整数論、さらにはさまざまな数学的問題の解決に寄与しています。特に、コホモロジー群の計算や関連する構造の理解は、現代数学における重要なテーマの一つとなっています。

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