群の生成系

群の生成系

抽象代数学の分野で、群の生成系や生成集合は非常に重要な概念です。ある群 G に対して、部分集合 S が群の生成系であるとは、群 G のすべての元が S の元およびそれらの逆元の有限の組み合わせとして表現できることを指します。言い換えれば、S が G の部分集合であるならば、生成系は元 S を包含する G の最小の部分群、つまり S の元が含まれるすべての部分群の交わりになります。

生成群の定義

生成系を文に表すと、S から生成される部分群は記号で と表され、この部分群は S を元にし、さらにそれらの逆元も考慮することで形成されます。群 G が生成系 S によって形成される場合、S は G を「生成する」とされ、S 内の各元は生成元と呼ばれます。特に、S が空である場合、 は自明な群 {e} となり、これは空の元に基づく積が単位元であることから来ています。さらに、1 つの元 x のみを含む場合は、通常 を と表記し、その場合は が x のベキからなる巡回部分群なのです。

群を生成することは、特定の元 x によってその群全体が表現されることを示します。有限群の場合、元 x の位数は群 G の位数と同値です。

有限生成群とその特徴

S が有限であれば、群 G = は「有限生成」と呼ばれます。この場合、特に有限生成アーベル群の構造は簡潔に表現できます。多くの立場から見ると、有限生成群に関する有用な定理は一般の群に対しては成り立たないことが明らかです。証明されている通り、各元が群の位数以下の長さの言葉として表せるという点で、有限群は部分集合 S によって生成されることが示されています。

すべての有限群はその構成的に自身を生成するため、有限生成であるとされます。たとえば、整数の加法群は生成元として 1 とその逆元の -1 を持ちながらも、無限群の例として挙げられます。一方、有理数の加法群は有限生成とは言えません。非可算群も同様に、有限生成であることはありません。

非生成元と呼ばれる別の概念も存在しますが、これは群 G の元 x が、G を生成する集合 S に x が含まれていても、S から x を除いた集合でも依然として G を生成できる場合に該当します。整数全体の加法群において、唯一の非生成元は 0 です。これにより、無限に多くの非生成元を集めた集合が G の部分群、つまりフラッティーニ部分群を形成します。

自由群に関する考察

最も基本的な群とされるのは、集合 S によって自由に生成された群です。生成系についての群は、すべてその群の商に同型である点が特筆されます。

例えば、単元群 U(Z9) を考えてみると、これは mod 9 において、9 と互いに素な整数全体から構成されます。ここで数値の演算は 9 を法とする形で行われます。具体的に、生成元となる数として 2 が例に上げられますが、整数のシンプルな性質が反映されています。また、任意の n > 2 の場合、n 次対称群は単独で生成することはできませんが、複数の元が協力して生成するという特性を持っています。

結論

このように、群の生成系は数学の多くの領域において、理論や実用に至るまで基盤を成す重要なトピックです。その理解を深めることで、これらの概念を持って新たな数学的課題に取り組むことが可能になります。