行列の分解

行列の分解：線形代数学における強力なツール

線形代数学において、行列の分解は、行列をより単純な行列の積に分割する手法です。一見複雑な行列も、適切な分解を用いることで、その構造や性質を理解しやすくなり、様々な問題を効率的に解くことができます。本稿では、代表的な行列分解について、その定義、性質、そして数値計算における応用について解説します。

線形方程式系との関連

行列の分解は、線形方程式系Ax = bを解く上で非常に有効です。例えば、

LU分解: 行列Aを下三角行列Lと上三角行列Uの積(A = LU)に分解します。この分解により、元の線形方程式系はL(Ux) = bという二つの三角行列に関する方程式系に帰着され、効率的に解くことができます。ガウスの消去法と密接に関連しています。
QR分解: 行列Aを直交[[行列]]Qと上三角行列Rの積(A = QR)に分解します。QR分解は数値的に安定しており、特に連立一次方程式の数値解法において有用です。

これらの分解は、ガウスの消去法を体系的に表現したものであり、行交換が必要な場合も考慮したLUP分解も存在します。

固有値・特異値に基づく分解

行列の固有値と固有ベクトルは、その行列の重要な性質を示す情報です。

固有値分解: 正方行列Aを、固有ベクトルを列ベクトルとする行列Vと、固有値を対角成分とする対角行列Dを用いて、A = VDV⁻¹と分解します。固有値分解は、線形変換の性質を理解する上で非常に重要であり、線形常微分方程式や線形差分方程式の解法にも応用されます。全ての正方行列が固有値分解を持つわけではなく、固有ベクトルの線形独立性が重要な条件となります。固有値に重複がある場合、ジョルダン標準形を用いることで一般化することができます。
特異値分解 (SVD): 任意のm×n行列Aを、ユニタリ[[行列]]U, Vと非負対角行列Dを用いて、A = UDVと分解します。SVDは、行列のランクや近似計算に用いられ、次元削減やノイズ除去などのデータ解析にも広く応用されています。

その他の重要な分解

上記以外にも、様々な行列分解が存在し、それぞれが特定の問題や状況において有用です。

コレスキー分解: 対称正定値行列を上三角行列Uを用いてA = UUと分解します。効率的な計算が可能で、特に最適化問題などで活用されます。
シューア分解: 正方行列をユニタリ[[行列]]と上三角行列の積に分解する手法で、複素シューア分解と実シューア分解があります。
QZ分解: 二つの正方行列A, Bに対して、一般化固有値問題を解く際に用いられます。
極分解: 行列をユニタリ[[行列]]と半正定値エルミート[[行列]]の積に分解します。

連続行列への拡張

行列の分解は、離散的な行列だけでなく、積分作用素などの連続行列（準行列や連続行列）にも拡張することができます。これらの連続版の分解は、フレドホルム、ヒルベルト、シュミットらによる初期の研究に基づいており、現代の数値解析においても重要な役割を果たしています。

まとめ

行列の分解は、線形代数学における強力なツールであり、線形方程式系の解法、固有値問題の解析、データ解析など、様々な分野に応用されています。それぞれの分解は固有の性質と利点を持っており、問題に応じて適切な分解を選択することが重要です。本稿では代表的な行列分解を紹介しましたが、これ以外にも多くの手法が存在し、研究が続けられています。より深い理解のためには、参考文献を参照することをお勧めします。

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