集合の代数学

集合の代数学とは

集合の代数学は、集合の集まりを、和集合、共通部分、補集合などの演算と、集合の等価性や包含関係といった二項関係によって捉える体系です。この代数学を通して、集合に関する基本的な性質や法則を明らかにし、集合演算に伴う式の評価や計算を系統的に行うことが可能になります。

集合の代数学は、集合操作と集合関係の基本的な性質を扱う分野です。これらの性質は、集合の本質的な理解を深めるだけでなく、実用的な側面も持ち合わせています。算術における式とその計算と同様に、集合に関する式や計算も複雑になることがあります。そのため、これらの式の評価や効率的な計算を自在に行うために、体系的な取り扱い方が重要となります。

初等代数学が、数の演算と関係の基本性質を扱うように、集合の代数学は、和集合、共通部分、差集合といった集合演算と、等価性や部分性に関する代数学を展開します。集合そのものの詳細については、集合論の項目を参照してください。また、厳密な公理的取り扱いについては、公理的集合論を参照してください。

集合の代数学の基本法則

和集合と共通部分に関する二項関係は、さまざまな恒等式を満たします。以下に、主要な法則を命題として示します。

命題 1: 交換法則、結合法則、分配法則

任意の集合 A、B、C に対して、以下の法則が成り立ちます。

交換法則:
A ∪ B = B ∪ A
A ∩ B = B ∩ A
結合法則:
(A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C)
(A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C)
分配法則:
A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C)
A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)

これらの法則は、和集合と共通部分の操作が、数の加法と乗法に似た性質を持つことを示しています。可換性、結合性、そして分配性が成り立ちます。ただし、和集合は共通部分に対して分配的であるという点で、加法と乗法とは異なります。

命題 2: 同一性の規則、相補性の規則

普遍集合 U の任意の部分集合 A に対して、以下の法則が成り立ちます。

同一性の規則:
A ∪ ∅ = A
A ∩ U = A
相補性の規則:
A ∪ Aᶜ = U
A ∩ Aᶜ = ∅

これらの規則は、∅ と U がそれぞれ和集合と共通部分の単位元であることを示しています。また、補集合演算は一種の逆元としての性質を持ちます。

双対原理

上記法則には、興味深いパターンが見られます。すべての規則は、∪ と ∩、∅ と U を入れ替えることで相互に変換可能です。これは、集合の代数学の重要な性質であり、双対原理と呼ばれます。この原理により、任意の正しい集合の式から、演算と単位元を入れ替えた式もまた正しいことが保証されます。入れ替え後の式が元の式と同じ場合、自己双対であると言います。

和集合と共通部分の追加規則

命題 3: 等冪法則、統治法則、吸収法則

普遍集合 U の任意の部分集合 A、B に対して、以下の法則が成り立ちます。

等冪法則:
A ∪ A = A
A ∩ A = A
統治法則:
A ∪ U = U
A ∩ ∅ = ∅
吸収法則:
A ∪ (A ∩ B) = A
A ∩ (A ∪ B) = A

これらの法則は、既に述べた基本法則から導き出すことができます。

補集合の追加規則

命題 4: ド・モルガンの法則、二重補集合の法則、普遍集合と空集合の補集合の規則

A と B が普遍集合 U の部分集合であるとき、以下が成り立ちます。

ド・モルガンの法則:
(A ∪ B)ᶜ = Aᶜ ∩ Bᶜ
(A ∩ B)ᶜ = Aᶜ ∪ Bᶜ
二重補集合の法則:
Aᶜᶜ = A
普遍集合と空集合の補集合の規則:
∅ᶜ = U
Uᶜ = ∅

命題 5: 補集合の普遍性

A ∪ B = U かつ A ∩ B = ∅ ならば、B = Aᶜ が成り立ちます。この法則は、補集合の性質を特徴づけます。

包含の代数学

命題 6: 反射律、反対称律、推移律

集合 A、B、C について、以下が成り立ちます。

反射律:
A ⊆ A
反対称律:
A ⊆ B かつ B ⊆ A ならば A = B
推移律:
A ⊆ B かつ B ⊆ C ならば A ⊆ C

命題 7: 下限と上限の存在、結びの存在、交わりの存在

集合 S の部分集合 A、B、C について、以下の関係が成り立ちます。

下限と上限の存在:
∅ ⊆ A ⊆ S
結びの存在:
A ⊆ A ∪ B
A ⊆ C かつ B ⊆ C ならば A ∪ B ⊆ C
交わりの存在:
A ∩ B ⊆ A
C ⊆ A かつ C ⊆ B ならば C ⊆ A ∩ B

これらの法則は、包含関係が半順序であることを示し、集合の冪集合における上限と下限の存在を保証します。

命題 8: 包含関係の同値な表現

任意の2つの集合 A と B について、以下の式はすべて等価です。

A ⊆ B
A ∩ B = A
A ∪ B = B
A − B = ∅
Bᶜ ⊆ Aᶜ

これらの関係は、包含関係を和集合や共通部分で表現できることを示しています。

差集合の代数学

命題 9: 差集合に関する恒等式

任意の普遍集合 U とその部分集合 A、B、C について、以下の法則が成り立ちます。

C − (A ∩ B) = (C − A) ∪ (C − B)
C − (A ∪ B) = (C − A) ∩ (C − B)
C − (B − A) = (A ∩ C) ∪ (C − B)
(B − A) ∩ C = (B ∩ C) − A = B ∩ (C − A)
(B − A) ∪ C = (B ∪ C) − (A − C)
A − A = ∅
∅ − A = ∅
A − ∅ = A
B − A = Aᶜ ∩ B
(B − A)ᶜ = A ∪ Bᶜ
U − A = Aᶜ
A − U = ∅

これらの法則は、差集合の演算に関する重要な性質を表しています。

まとめ

集合の代数学は、集合の操作とその関係を理解するための強力なツールです。基本的な法則から複雑な集合の式を評価し、効率的な計算を行うことができます。この体系は、数学の様々な分野だけでなく、コンピュータサイエンスなどの分野においても重要な役割を果たしています。

参考文献

Stoll, Robert R.; Set Theory and Logic, Mineola, N.Y.: Dover Publications (1979)
Courant, Richard, Herbert Robbins, Ian Stewart, What is mathematics?: An Elementary Approach to Ideas and Methods, Oxford University Press US, 1996.

関連項目

論理演算
ブール代数
有限加法族

外部リンク

* Operations on Sets at ProvenMath

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