非論理記号

非論理記号について

非論理記号とは、数理論理学、特にモデル理論において、形式言語の要素でその解釈が特定モデルにより変化する記号を指します。特に一階述語論理においては、これに該当するのは主に定数記号、関数記号、述語です。このような非論理記号は、論理演算子や量化記号など、あらゆるモデルにおいて同じ意味を持つことが求められる論理定数とは異なる特徴を持ちます。

非論理記号の重要な点は、それぞれの解釈に基づいて意味が決まるということです。このため、非論理記号を含む文は解釈が無ければ意味を持ちません。この観点から、どのような解釈の下でその文が真であるか、あるいは偽であるかが問題となります。これらの概念は、一階述語論理における構文論の節で詳しく定義され、議論されています。

等号記号の扱い

等号記号に関しては、非論理記号として扱われる場合と論理的な記号として考えられる場合があることに留意が必要です。論理的な記号として見る場合、全ての解釈は等号を真なる等しさに基づいて解釈することが求められます。一方、非論理記号として考えるならば、任意の同値関係を用いて解釈される可能性があります。

署名とは

署名は、非論理記号の集合に加え、各記号を識別するための附帯情報を組み合わせたものです。この署名によって、記号が定数記号、特定のアリティnを持つ関数記号、または特定のアリティを持つ関係記号として区別されます。この情報は、非論理記号を用いて項や論理式をどのように構成するかを制御します。

たとえば、関数記号fが二項で、定数記号cが存在する場合、式f(x, c)は項となりますが、c(x, f)は項にはなりません。同じく、関係記号は項の中では使えませんが、アリティに応じた多数の項を組み合わせて原子論理式を生成する際には使用可能です。具体的には、署名が二項関数記号の+、定数記号の0、二項関係記号の<から構成されることもあります。

モデルの定義

署名に基づく構造はモデルとして知られ、これはその署名と一階言語のための形式的な意味論を提供します。署名に基づく構造は、議論領域Dと非論理記号の解釈から成り、全ての定数記号はDの要素として解釈されます。n項関数記号の解釈は、D上のn項関数、つまり領域のn重直積から領域への関数として機能します。同様に、n項関係記号は領域上のn項関係によって解釈されることになります。

例として、整数の順序群が挙げられます。この場合の領域は整数の集合、すなわち{…, -2, -1, 0, 1, 2, …}です。ここで、二項関数記号+は加法によって、定数記号0は加法の単位元、二項関係記号<は「小さい」関係によって解釈されます。

非形式的意味論

数学的な文脈を超えて考えると、より非形式的な解釈が求められる場合が多いです。

記述記号の概念

ルドルフ・カルナップは、論理記号と非論理記号、彼が記述記号と呼ぶものを、どのように世界において何を記述するかによって区別する用語法を導入しました。記述記号は、世界に存在する物事やプロセス、あるいは物事の特性や関係を指し示す形式言語の記号であると定義されています。これは、特定の属する領域に応じた意味が恣意的に付与されるため、論理記号の使用とは対照を成します。

従って、非論理記号は多様な解釈を許容し、その使用は文脈によって大きく影響を受けることがわかります。数学的理論を構築する上で、これらの概念を正確に理解することは非常に重要です。

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