K·p摂動論

k・p摂動論：固体中の電子状態解明への近似手法

固体物理学において、物質の性質を理解する上で、結晶中の電子の挙動を記述するバンド構造の解明は極めて重要です。しかし、シュレーディンガー方程式を厳密に解くことは、現実的な計算コストの観点から困難な場合が多いです。そこで用いられる有効な近似手法の一つにk・p摂動論があります。これは、特に有効質量や光学特性の計算に威力を発揮し、ラッティンジャー=コーン模型やケイン模型といった重要なモデルにおいても活用されています。

背景と導出：ブロッホの定理から摂動論へ

まず、結晶中の電子の運動は、周期的なポテンシャルV(x)の下でのシュレーディンガー方程式で記述されます。


(p^2/2m + V)ψ = Eψ


ここで、pは運動量演算子、mは電子の質量、Eはエネルギーです。ブロッホの定理によると、この方程式の解はブロッホ波動関数として表すことができます。


ψ_(n,k)(x) = e^(ik・x)u_(n,k)(x)


kは波数ベクトル、nはバンドインデックス、u_(n,k)(x)は結晶の周期性を持つ関数です。

k・p摂動論は、このブロッホ波動関数を用いて、波数ベクトルkを摂動パラメーターとして扱います。ハミルトニアンは、k=0（ガンマ点）でのハミルトニアンH₀と、kに関する摂動項H'kに分解されます。


H_k = H₀ + H'_k = (p^2/2m + V) + (ħ^2k^2/2m + ħk・p/m)


H₀はk=0におけるハミルトニアンで、これは正確に解けることが期待できます。H'_kはkに関する摂動項で、kが小さい場合に摂動として扱えます。この摂動項がk・pの形をしていることから、k・p摂動論と呼ばれます。

非縮退バンドの場合

スピン軌道相互作用を無視し、k=0でエネルギー準位が非縮退なバンドを考えます。摂動論を用いて、エネルギーE_(n,k)と波動関数u_(n,k)をk=0での値E_(n,0)とu_(n,0)から摂動展開することで、エネルギー分散関係と波動関数を近似的に求めることができます。

特に、エネルギー分散関係は以下のように表されます。


E_(n,k) = E_(n,0) + ħ^2k^2/(2m) + (ħ^2/m^2)Σ_(n'≠n) ||^2 / (E_(n,0) - E_(n',0))


この式から、有効質量が導出されます。

有効質量

上記のエネルギー分散関係から、半導体の伝導帯や価電子帯における有効質量を計算することができます。特に、伝導帯の有効質量は、バンドギャップE_gと光学行列要素を用いて近似的に表されます。有効質量は、バンドギャップに依存し、ギャップが小さくなるほど小さくなります。

スピン軌道相互作用

スピン軌道相互作用を考慮すると、ハミルトニアンにスピンに関する項が加わります。これにより、エネルギー準位はスピンによって分裂し、計算は複雑化しますが、k・p摂動論の枠組みで扱うことができます。

縮退バンドの場合

価電子帯など、k=0でエネルギー準位が縮退している場合、縮退摂動論を用いる必要があります。ラッティンジャー=コーン模型やケイン模型は、この縮退摂動論に基づいた代表的なモデルです。

まとめ

k・p摂動論は、バンド構造計算において強力な近似手法です。有効質量、光学特性の計算、そしてより複雑な縮退系を扱う際に、重要な役割を果たしています。その簡便さ、そして多くの系への適用可能性から、固体物理学において広く利用されています。しかし、kが大きい領域では精度が低下する傾向があるため、適用範囲に注意が必要です。

もう一度検索