Sinc関数

sinc関数：信号処理と数学をつなぐ関数

sinc関数は、正弦関数と変数の比で定義される初等関数です。数学やデジタル信号処理の分野で広く利用されており、その性質から様々な応用が生まれています。表記は`sinc(x)`、`Sinc(x)`、`sinc x`など様々です。

sinc関数の定義

sinc関数は、大きく分けて2つの定義があります。

1. 正規化sinc関数: デジタル信号処理で一般的に用いられる定義です。

$$\operatorname{sinc}(x) = \frac{\sin(\pi x)}{\pi x}$$

2. 非正規化sinc関数: 数学の分野で歴史的に用いられてきた定義です。

$$\operatorname{sinc}(x) = \frac{\sin(x)}{x}$$

どちらの定義においても、x=0における値は`sinc(0) = 1`と定義されます。これは、0での可除特異点を扱うための措置です。sinc関数は、全体で解析的です。また、カーディナルサイン(cardinal sine)とも呼ばれ、その名前はラテン語のsinus cardinalisを短縮したものです。

sinc関数の性質

本稿では特に断りのない限り、正規化sinc関数について説明します。非正規化sinc関数は、正規化sinc関数に$\pi$倍のスケールファクターがかかっているだけで、結果を得るには$\pi$でスケール変換すれば対応できます。

特殊値: 整数値において以下の関係が成立します。

$\operatorname{sinc}(k) = \delta_{0k} \quad (k \in \mathbb{Z})$

ここで、$\mathbb{Z}$は整数の集合、$\delta_{ij}$はクロネッカーのデルタです。つまり、`sinc(0) = 1`、`sinc(±1) = sinc(±2) = ... = 0`となります。

また、xが無限大に近づくにつれて、sinc関数は0に収束します。

$$\lim_{x \to \pm\infty} \operatorname{sinc}(x) = 0$$

微分: sinc関数の微分は、以下の式で表されます。

$$\frac{d}{dx}\operatorname{sinc}(x) = 0 \iff \operatorname{sinc}(a) = \cos(\pi a)$$

フーリエ変換

sinc関数の重要な性質として、フーリエ変換との密接な関係があります。矩形関数のフーリエ変換はsinc関数であり、逆にsinc関数のフーリエ変換は矩形関数となります。

$$\operatorname{rect}(x) \leftrightarrow^{\mathfrak{F}} \operatorname{sinc}(f) = \operatorname{sinc}(\frac{\omega}{2\pi})$$

ここで、`rect(x)`は単位矩形関数、$\mathfrak{F}$はフーリエ変換を表します。

テイラー展開

sinc関数はテイラー展開によって以下のように表現できます。

$$\operatorname{sinc}(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n \pi^{2n}}{(2n+1)!}x^{2n}$$

定積分と広義積分

sinc関数の定積分と広義積分は、以下のようになります。

$$\int_0^{\infty} \operatorname{sinc}(x)dx = \frac{1}{2}, \quad \int_{-\infty}^{\infty} \operatorname{sinc}(x)dx = 1$$

$$\int_0^{\infty} \operatorname{sinc}^2(x)dx = \frac{1}{2}, \quad \int_{-\infty}^{\infty} \operatorname{sinc}^2(x)dx = 1$$

$$\int_0^{\infty} |\operatorname{sinc}(x)|dx = \infty, \quad \int_{-\infty}^{\infty} |\operatorname{sinc}(x)|dx = \infty$$

不定積分

非正規化sinc関数の不定積分は、正弦積分`Si(x)`と呼ばれ、特殊関数として扱われます。

$$\int \operatorname{sinc}(x)dx = \mathrm{Si}(x) + C = \int_0^x \frac{\sin t}{t}dt + C = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{(-1)^k x^{2k+1}}{(2k+1)(2k+1)!} + C$$

ここで、Cは積分定数です。

直交性

sinc関数の平行移動同士は直交するという性質があります。

$$\int_{-\infty}^{\infty} \operatorname{sinc}(x-i)\operatorname{sinc}(x-j)dx = \delta_{ij} \quad (i, j \in \mathbb{Z})$$

無限積

sinc関数は、無限積を用いて以下のように表現できます。

$$\operatorname{sinc}(x) = \prod_{k=1}^{\infty} \cos(\pi \frac{x}{2^k}) = \prod_{k=1}^{\infty} (1 - \frac{x^2}{k^2}) $$

信号処理への応用

sinc関数は、その性質から信号処理において様々な応用が考えられます。しかし、コンパクトな台を持たないため、多くの計算量を要することが多い点が課題です。

直交ウェーブレット変換: 直交性と±∞での収束性から、直交ウェーブレット変換の基底として用いられますが、コンパクト台を持たないため計算量が大きくなります。
補間カーネル: フーリエ変換が矩形関数であることから、リサンプリングや内挿の補間カーネル（低域通過フィルタ）として用いられます。無限系列の信号に対しては理想的ですが、有限長の信号では問題となるため、実際には3次畳み込み関数やランツォシュフィルタなどが使われます。
* D/A変換: 矩形関数のフーリエ変換がsinc関数であることから、理想的なD/A変換が実現できますが、計算量が無限大に発散するため、実際には用いられません。

sinc関数は、理論的な背景やシミュレーションにおいて重要な役割を果たしますが、その計算コストの高さから、実際の応用では近似関数などが用いられることが多いです。

もう一度検索