ゼロ除算

ゼロ除算とは



数学におけるゼロ除算とは、ある数を0で割る演算のことです。形式的には`a/0`と記述されますが、この演算は数学的に矛盾を生じさせるため、定義することができません。コンピュータの世界では、ゼロ除算が発生するとエラーとなり、プログラムが中断されることが一般的です。

ゼロ除算に対する誤解



ゼロ除算は、初歩的な知識で理解できるにも関わらず、しばしば誤解を生みます。特に、極限の概念と混同されることがあります。

例えば、

$$\lim_{x \to +0} \frac{1}{x} = +\infty$$

という式は、「xが0に近づくにつれて1/xの値が無限大に近づく」という意味であり、決して「1/0 = ∞」を意味するものではありません。ゼロ除算を定義しようとすると、必ず矛盾が生じ、数学的に有用な結果は得られません。

日常生活における例



  • - コンピュータの整数演算: ゼロ除算はエラーを発生させ、プログラムを中断させます。
  • - コンピュータの浮動小数点演算: IEEE 754規格では、正の数を0で割ると正の無限大、負の数を0で割ると負の無限大、0を0で割るとNaN（非数）を返すように定義されています。
  • - 一般的な電卓: ゼロ除算を行うと、「E 0.」などのエラー表示が出ます。
  • - 計算尺: 対数尺には0の位置が存在しないため、計算不可能です。

算数的解釈



小学校算数では、除算は物を均等に分けることとして教えられます。例えば、6個のリンゴを3人で分けるとき、一人あたり2個になります（6 ÷ 3 = 2）。

しかし、6個のリンゴを0人で分けることはできません。受け取る人がいないため、一人あたり何個になるかという問い自体が意味をなしません。つまり、ゼロ除算は算数の範囲では未定義となります。

また、減法の繰り返しで考えることもできます。例えば、96を8で割る場合、96から8を繰り返し引くと12回で0になります。しかし、6を0で割る場合、0をどれだけ引いても6は0にならないため、未定義となります。

ゼロ除算の歴史的な試み



  • - ブラフマグプタ: 著書『ブラーマ・スプタ・シッダーンタ』でゼロとゼロ除算を定義しましたが、代数的な矛盾が生じました。
  • - マハーヴィーラ: ブラフマグプタの誤りを訂正しようとしましたが、失敗に終わりました。
  • - バースカラ2世: `n/0 = ∞`と定義しようとしましたが、パラドックスが生じました。

代[[数学]]的解釈



除算は乗法の逆演算として定義されます。つまり、`a/b`の値は、`bx = a`を解いたときに`x`の値が一意に定まる場合にのみ存在します。`b = 0`の場合、`0x = a`となり、`a`が0でない場合は解がなく、`a`が0の場合は任意の`x`が解となるため、`a/0`は未定義となります。

ゼロ除算に基づく誤謬



ゼロ除算を用いると、以下のように誤った証明を導くことができます。

前提:

$$0 \times 1 = 0$$
$$0 \times 2 = 0$$

したがって、

$$0 \times 1 = 0 \times 2$$

両辺を0で割ると、

$$1 = 2$$

これは、`0/0`を暗黙のうちに1として扱っていることが原因です。

解析学的解釈



ゼロ除算は極限を用いて定義できそうに見えますが、そうではありません。

例えば、`a`が正の数の場合、

$$\lim_{b \to 0^+} \frac{a}{b} = +\infty$$

しかし、この定義には以下の問題点があります。

1. 無限大は実数ではない。
2. 右側からの極限だけを考えるのは恣意的で、左側からの極限は異なる値となる。

例えば,
$$\lim_{x \to 0^+}\frac{1}{x} = +\infty$$ですが
$$\lim_{x \to 0^-}\frac{1}{x} = -\infty$$であり、等式が成り立ちません。

また、`0/0`に関しても、極限が存在しないため、うまく定義できません。

リーマン球面



複素平面に無限遠点を加えたリーマン球面では、`1/0 = ∞`と定義されますが、`∞+∞`や`0/0`は未定義です。

コンピュータにおけるゼロ除算



コンピュータでのゼロ除算の挙動は、整数演算と浮動小数点数演算で異なります。

整数演算の場合



多くのプロセッサでは、ゼロ除算は例外を発生させ、プログラムが強制終了します。

浮動小数点演算の場合



  • - エラーで処理を中断する。
  • - 無限大を意味する特殊な数を返す。
  • - NaN（Not a Number）を返す。

IEEE 754規格では、`a/0`が正の数であれば正の無限大、負の数であれば負の無限大、0であればNaNと定義されています。

現実世界での事例



1997年、アメリカ海軍の巡洋艦「ヨークタウン」では、ゼロ除算が原因で主機が停止し、漂流する事態が発生しました。

ポップカルチャーにおけるゼロ除算



  • - 「OH SHI-」という表現で、ゼロ除算がエラーを引き起こす様子を宇宙の終焉と結びつけたジョークがあります。
  • - テッド・チャンの短編小説「ゼロで割る」があります。
  • - チャック・ノリス・ファクトでは、「チャック・ノリスはゼロ除算ができる」というジョークがあります。

このように、ゼロ除算は数学的な概念だけでなく、コンピュータやポップカルチャーにも影響を与えています。

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