フィックの法則

フィックの法則：物質拡散の基礎

フィックの法則は、物質が空間内を拡散する現象を記述する基礎的な物理法則です。気体、液体、固体といった様々な状態の物質の拡散に適用できる汎用性の高い法則であり、1855年にアドルフ・オイゲン・フィックによって発表されました。フィックは、熱伝導のフーリエの法則になぞらえる形でこの法則を定式化しました。

フィックの法則は、大きく分けて第1法則と第2法則の2つから構成されます。それぞれ、定常状態と非定常状態の拡散現象を記述します。

フィックの第1法則：定常状態拡散

第1法則は、拡散による物質の濃度が時間的に変化しない、定常状態の拡散を記述します。この状態では、拡散流束は濃度勾配に比例するというシンプルな関係が成り立ちます。例えば、工業的には水素ガスの精製プロセスなどでこの法則が用いられています。

数式で表すと以下のようになります。

1次元の場合：

J = -D(dc/dx)

多次元の場合：

J = -D grad c

ここで、

J：拡散流束（単位時間、単位面積あたりに移動する物質量）
D：拡散係数（物質の拡散しやすさを表す定数）
c：濃度
x：位置
grad：勾配ベクトル

この式は、濃度が高い領域から低い領域へと物質が拡散していくことを示しています。拡散係数Dが大きいほど、拡散は速く進みます。

導出

第1法則の導出は、微小な時間間隔τにおいて、粒子（分子など）が確率的に左右に移動するという単純なモデルから出発します。粒子の移動距離をaとすると、拡散係数DはD = a²/2τという関係で表すことができます。このモデルでは、長時間の時間スケールでの平均的な運動に着目しており、粒子の平均自由時間τよりも長い時間スケールでの挙動を記述しています。

フィックの第2法則：非定常状態拡散

第2法則は、時間とともに濃度が変化する非定常状態の拡散を記述します。現実の拡散現象の多くは非定常状態であり、第2法則はより現実的な状況をモデル化します。拡散係数Dが一定であると仮定すると、濃度の時間変化は次の拡散方程式で表されます。

1次元の場合：

∂c/∂t = D(∂²c/∂x²)

多次元の場合：

∂c/∂t = D∇²c

ここで、

∂c/∂t：時間による濃度の変化率
∇²：ラプラシアン（2階空間微分の演算子）

この式は、濃度の空間的な不均一さが時間とともに解消されていく様子を表しています。

導出

第2法則は、第1法則から導出できます。微小な体積要素に着目し、その両端から出入する拡散流束の差が、その体積要素内の濃度変化を引き起こすことを考えます。第1法則を用いて流束を表し、連続の式を適用することで、第2法則が導かれます。

拡散係数Dが一定でない場合、拡散方程式はより複雑な形になります。この場合、解を得ることは困難になります。

拡散係数

拡散係数Dは、物質の種類、温度、圧力などによって変化します。

アインシュタイン・ストークスの式: 気体分子などの拡散では、ブラウン運動に基づいて拡散係数を表現するアインシュタイン・ストークスの式が用いられます。この式は、拡散係数をボルツマン定数、温度、粘性率、分子半径などで表します。
金属: 金属における拡散係数は、温度依存性を示し、活性化エネルギーを用いた式で表現されます。

無次元数

拡散現象を記述する際に、いくつかの無次元数が用いられます。

シュミット数：動粘性係数と拡散係数の比
ルイス数：熱拡散率と拡散係数の比
ペクレ数：慣性と拡散係数の比（熱伝導におけるペクレ数とのアナロジー）

まとめ

フィックの法則は、物質拡散現象を理解するための重要な基礎となります。定常状態と非定常状態の拡散、拡散係数の温度依存性、関連する無次元数などを理解することで、様々な物質の拡散現象を解析し、予測することが可能になります。

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