フロベニウス群

フロベニウス群についての詳細

フロベニウス群は、群論において特異な性質を持つ群の一つであり、F. G. フロベニウスの名に由来しています。この群は、有限集合上での推移的な置換を特徴とし、特にその非自明な要素には2つ以上の点を固定しないものが含まれます。さらに、任意の1つの非自明な要素が1点を固定することが求められます。

フロベニウス群の構造

フロベニウス群 G は、集合 X の置換として形成されます。このとき、G の部分群 H が X の点を固定する場合、この部分群はフロベニウス補群と呼ばれます。また、単位元や、H の共役に含まれない全ての元から成る正規部分群をフロベニウス核 K と呼びます。この性質は、フロベニウスによる定理に基づいており、指標理論を用いずに証明する方法は現在も未発見です。フロベニウス群 G の構造は次のように表されます。

$$
G = K ⋊ H
$$

フロベニウス核とフロベニウス補群は、いずれも厳密に定義された構造を持っており、特に J. G. Thompson によって、K が冪零群であることが示されています。H が偶数の位数を持つ場合、K はアーベル群になります。また、フロベニウス補群 H が持つ特異性の一つとして、全ての位数が2の素数の積からなる部分群が巡回群である点が挙げられます。このような群は Z群と称され、必ずメタ巡回群でもあります。メタ巡回群とは、2つの巡回群の拡大として理解できます。

有限群がフロベニウス補群となるための条件は、有限体上の忠実な有限次元表現が存在し、非単位元が非零の固定点を持たない線型変換に対応していることです。この条件が満たされると、フロベニウス群の性質を満たすことができます。

フロベニウス群の具体例

フロベニウス群の具体例として最小のものは、6つの元からなる3次対称群です。ここで、フロベニウス核 K の位数は3、補群 H の位数は2です。また、任意の有限体 Fq では、可逆アフィン変換によって生成される群もフロベニウス群の一例とされます。この場合、特に3つの元を持つ体 F3 において顕著です。

ファノ平面における共線群の部分群も、フロベニウス群の素晴らしい例です。この部分群は、3回の対称性を持つσと、7点全ての巡回置換τによって生成されます。さらに、位数2の補群を持つ二面体群や、一般的な非アーベルのフロベニウス群の構成も存在します。

フロベニウス群の重要な性質として、既約表現に関する理論もあります。フロベニウス群 G の既約複素表現は、H および K の既約複素表現から導き出せます。これにより、G の既約表現には2つの形式が存在することが明らかになります。

一般的な定義とその適用

フロベニウス群特有の性質として、群 G がフロベニウス群であるとき、H が正しい条件を満たさなければならないことが挙げられます。正規部分群 K とその補群 H の半直積が成立し、その結果、特定の制約条件が同期して成り立つ場合にフロベニウス群となります。この性質を活用し、G が Malnormal subgroup である場合や、群の分類に役立てることができます。これにより、群の性質や構造に新たな視点を提供することが可能です。

参考文献

• - Frobenius, G. (1901), “Über auflösbare Gruppen. IV.”
• - B. Huppert, Endliche Gruppen I, Springer 1967
• - I. M. Isaacs, Character theory of finite groups, AMS Chelsea 1976
• - D. S. Passman, Permutation groups, Benjamin 1968
• - Thompson, John G. (1960), “Normal p-complements for finite groups”, Mathematische Zeitschrift 72.

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