メルカトル図法

メルカトル図法とは

メルカトル図法は、1569年に地理学者ゲラルドゥス・メルカトルによって発表された地図投影法です。正角円筒図法とも呼ばれ、特に海図や航路図として広く利用されてきました。この図法の最大の特徴は、等角航路（出発地と目的地を結ぶ線と経線がなす角度が一定の航路）が直線で表現される点にあります。これは、羅針盤を用いて一定の角度を保ちながら航行する際に非常に便利です。

ただし、メルカトル図法はメルカトルが発案者ではなく、ドイツのエアハルト・エッツラウプが1511年に作成した地図に既に使われていました。

メルカトル図法の仕組み

メルカトル図法では、経線は平行な直線として、緯線は経線と直交する平行な直線として表現されます。しかし、地球は球体であるため、正角性（角度を正しく表現する性質）を維持するためには、縦横の拡大率を一致させる必要があります。

緯線はすべて赤道と同じ長さで表現されるため、高緯度地方に向かうにつれて横方向に拡大されます。これに伴い、縦方向にも同様に拡大されるため、高緯度地域ほど実際よりも距離や面積が大きく表示されます。例えば、緯度60度では面積が4倍に、グリーンランドでは17倍も拡大されて表示されます。

メルカトル図法の利用

メルカトル図法の地図上で、出発地と目的地を直線で結び、その線と経線がなす角度を測り、常にその角度へ進むことで目的地に到達できます。この航路は航程線と呼ばれ、羅針盤が発明された時代から広く利用されてきました。しかし、航程線は多くの場合、最短距離である大圏コースから大きく外れます。

メルカトル図法のメリット・デメリット

メリット

角度が正確に表現される（正角性）。
等角航路が直線で表現されるため、航海に便利。
ネット上の世界地図で、シームレスな表現が可能。

デメリット

高緯度地域が実際よりも大きく表示される。
広い範囲での角度、距離、面積比が正確ではない。
極を表現できない。

メルカトル図法の数式

[地図]]の中心経度をλ₀としたとき、地理経緯度]が[[地図上の点(x, y)に投影される式は以下の通りです。

math
\begin{aligned}
x &= \lambda - \lambda_0\\
y &= \ln \tan \left(\frac{\pi}{4} + \frac{\varphi}{2}\right)\\
&= \tanh^{-1} \sin \varphi\\
&= \operatorname{gd}^{-1} \varphi
\end{aligned}

逆変換、すなわち図上位置(x, y)から経緯度を求める式は以下の通りです。

math
\begin{aligned}
\lambda &= x + \lambda_0\\
\varphi &= 2 \tan^{-1} \exp y - \frac{\pi}{2}\\
&= \sin^{-1} \tanh y\\
&= \operatorname{gd} y
\end{aligned}

ここでgd yはグーデルマン関数であり、gd⁻¹φはランベルト関数と呼ばれます。

ただし、地球を扁球回転楕円体として考慮する場合、y座標は以下の式で縮減する必要があります。

math
y = \tanh^{-1} \sin \varphi - e \tanh^{-1}(e \sin \varphi )

ここで、eは第一離心率です。この値を元に算出される“等長緯度“を用いることもあります。

メルカトル図法の歴史

メルカトルは、等角航路が直線になる地図を作ろうとしましたが、当時は積分法が知られていなかったため、必要な数式を級数で近似計算するに留まりました。そのため、メルカトル図法はすぐには普及しませんでした。1599年にイギリスのエドワード・ライトが数値計算法を用いて緯線距離を導き出し、作図に必要な数表を作成したことで、メルカトル図法が普及しました。

縮尺について

メルカトル図法では、高緯度になるほど縮尺が大きくなるため、地図全体での縮尺は一定ではありません。広域地図では赤道上の縮尺を基準とすることが多いですが、緯度別の縮尺を併記することも多いです。海図のように比較的狭い範囲を描く場合は、特定の緯度における縮尺を表示します。

派生図法

メルカトル図法を基準とし、他の大円を基準線にした派生図法が存在します。子午線を基準線としたものを横メルカトル図法、それ以外の大円を基準線としたものを斜軸メルカトル図法といいます。特に、地球を回転楕円体として考慮した横メルカトル図法はガウス・クリューゲル図法とも呼ばれます。

これらの派生図法は、小縮尺の世界地図にはあまり使用されませんが、基準線が直線になる、基準線と平行な直線上で縮尺が同じであるなどの利点から、地形図など中～大縮尺地図で用いられることがあります。

まとめ

メルカトル図法は、その独特な性質から、航海図やWeb地図など様々な用途で活用されている地図投影法です。正しい角度を保ちつつ、直感的に航路を示すことができる一方で、高緯度地域の面積が歪むという特徴もあります。これらの特徴を理解し、目的に応じた地図投影法を選択することが重要です。

メルカトル図法