ユークリッドの運動群

ユークリッド群

ユークリッド群（または運動群）は、ユークリッド空間における対称性のすべてを集めた数学的な群です。その要素は、ユークリッド距離を変化させない変換であり、「等長変換」あるいは「合同変換」、「ユークリッドの運動」と呼ばれます。次元が2や3といった身近な空間における運動の研究は、数学における群という概念が生まれるよりもはるか昔から、形を変えて探求されてきました。n次元ユークリッド空間の運動群は、E(n)やiso(n)といった記号で表されます。

構造と自由度

ユークリッド群E(n)はn(n+1)/2個の「自由度」を持ちます。この自由度のうちn個は空間内の位置をずらす「平行移動」に関わるものであり、残りのn(n-1)/2個は図形を回す「回転」の自由度に対応します。

ユークリッド群は、さらに二つの大きな種類に分けられます。一つは図形の向きを保つ等長変換全体からなる「特殊ユークリッド群」E+(n)（またはSE(n)）です。これはしばしば「剛体運動」とも呼ばれ、空間内で物体を滑らかに動かす際の変換を意味します。もう一つは、図形の向きを逆転させる等長変換です。

特殊ユークリッド群E+(n)はE(n)の中で特別な位置を占める部分群であり、E(n)はE+(n)の他に、向きを逆転させる変換の集合から構成されます。具体的には、向きを逆転させるある一つの変換Rを基準にすると、他のすべての向きを逆転させる変換は、向きを保つ変換Dを用いてDの後にRを行う形で表すことができます。特に、SE(3)は古典力学において、硬い物体の動きを記述する際に中心的な役割を果たします。

ユークリッド群とその部分群は、単なる集合としてだけでなく、連続的に変化する変換を考えることができる「リー群」としての側面も持ちます。これにより、解析学の手法を用いてこれらの群を詳細に調べることが可能になります。

アフィン群との関係と幾何学

ユークリッド群E(n)は、より広い概念であるn次元アフィン群の部分群です。この関係は、半直積と呼ばれる数学的な構造を用いて理解されます。具体的には、ユークリッド群の各要素は、n×nの直交行列Aとn次元の列ベクトルbの組(A, b)として、あるいは(n+1)次正方行列として表現できます。これらの表現は、ユークリッド変換が線形変換（回転や鏡映など）の後に平行移動を行う操作として捉えられることを示しています。

クラインが提唱したエルランゲン目録の考え方に基づけば、ユークリッド幾何学は、ユークリッド群という特定の変換群の下で不変な性質（距離や角度など）を研究する学問分野として位置づけられます。したがって、ユークリッド幾何学はアフィン幾何学（アフィン群に関する幾何学）の特別な場合とみなすことができ、アフィン幾何学で成り立つ定理をユークリッド幾何学にも応用できます。

部分群構造

運動群E(n)にはいくつかの重要な部分群が含まれます。代表的なものとして、平行移動全体のなす「平行移動群」T(n)と、原点を固定する変換全体のなす「直交群」O(n)があります。運動群E(n)の任意の要素は、直交変換を行った後に平行移動する形式 $x \mapsto Ax + b$（Aは直交行列、bはベクトル）で一意に表せます。

平行移動群T(n)はE(n)の中で「正規部分群」と呼ばれる特別な性質を持ちます。これは、任意の平行移動を、任意の等長変換で変換し直しても、再び平行移動になることを意味します。これらの性質から、E(n)はO(n)とT(n)の「半直積」として記述されます。

また、直交群O(n)は、E(n)をT(n)で割った剰余群 $E(n) / T(n)$ と数学的に同じ構造を持ちます。直交群O(n)の中でも、行列式が1であるような直交行列に対応する変換全体は、「特殊直交群」SO(n)と呼ばれる、向きを保つ回転などの変換からなる部分群を形成します。これに対応して、E(n)の中でも向きを保つ変換全体は、特殊ユークリッド群E+(n)となり、その線形部分の行列式は1となります。

様々な部分群

ユークリッド群は非常に多様な部分群を持ちます。点全体を離散的に動かすような「離散群」（有限群や格子群など）や、連続的な変換を含む群（例えば、空間内の任意の点を連続的に平行移動させる群など）が存在します。これらの部分群の研究は、結晶学や物理学など、様々な分野に応用されています。

変換の交換性

いくつかの等長変換は、その行う順番を変えても最終的な結果が同じになる、つまり「交換可能」な性質を持ちます。例えば、同じ方向への二つの平行移動や、同じ軸の周りの二つの回転は交換可能です。他にも、特定の平面に関する鏡映とその平面上の平行移動、あるいはその平面に直交する軸の周りの回転なども交換可能であることが知られています。

共軛類

ユークリッド群における「共軛類」は、変換の性質を分類する上で重要な概念です。簡単に言えば、ある変換を別の変換で「変換し直す」ことで得られる変換の集まりです。例えば、空間内の任意の方向への、決まった距離だけずらす平行移動は、すべて同じ共軛類に属します。次元によって共軛類の分類は異なります。一次元では、すべての鏡映は同じ類に入ります。二次元では、同じ角度の回転は同じ類に入ります。三次元では、同じ角度の回転や、同じ距離を伴う映進などがそれぞれ同じ類に属します。

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