リウヴィルの定理 (物理学)

リウヴィルの定理とは

リウヴィルの定理は、ハミルトン力学における確率分布の時間変化について述べた基本的な定理です。この定理は、フランスの数学者ジョゼフ・リウヴィルによって発表されました。リウヴィルの定理は、相空間における物理的な状態の変化が、いかにして確率分布に影響を与えるかを定式化しています。

リウヴィルの定理の基本概念

この定理の主要な要素は、相空間とその中での粒子の動きです。相空間とは、粒子の位置と運動量を座標として持つ空間で、n 個の粒子の系では、位置は3n次元のベクトルで、運動量も同様に3n次元になります。リウヴィルの定理では、 τが位置と運動量の座標を表し、 ρは相空間の中の微小体積での確率を示します。つまり、 τに対する確率分布は、時間とともにどう変化するのかが焦点となります。

具体的には、ハミルトニアンHと確率分布ρを用いて以下の式が成立します：

$$ \frac{\partial \rho}{\partial t} = -\{ \rho , H \} $$

この式はリウヴィル方程式と呼ばれ、ポアソン括弧を使用して確率分布の時間変化を計算する方法を提供します。リウヴィルの定理の最も興味深い結果は、相空間の体積が時間とともに保存されることです。これは、ある体積から出発した系が、時間が経過しても必ず同じ体積に留まることを意味します。

リウヴィル方程式の詳細

リウヴィル方程式は、相空間上での分布関数の時間発展を扱います。最初にこの方程式の重要性を認識したのは、統計力学の先駆者ウィラード・ギブズであり、リウヴィルが使った等式にちなんで名づけられました。ハミルトン力学系において、正準座標qと運動量pを考慮すると、相空間の分布ρは微小な相空間体積における確率を決めることになります。

リウヴィルの定理の応用

リウヴィルの定理は、物理学や数学のさまざまな分野に応用されています。例えば、エルゴード理論では、相空間の流体の性質に基づいて、時間平均と空間平均の概念を定義します。この理論では、リウヴィルの定理に基づき、与えられた物理系の長期的な挙動を理解するための基礎を提供します。

シンプレクティック幾何学においては、相空間がシンプレクティック多様体として扱われ、リウヴィルの定理はこの多様体の体積形式がハミルトンフローの下で不変であることを示しています。これにより、さまざまな物理的なシステムの解析が容易になります。

量子リウヴィル方程式

リウヴィルの定理は、量子力学の分野にも関連しています。正準量子化を通じて、密度行列の時間発展が関係する量子リウヴィル方程式が導かれます。古典力学的な変数が量子力学的な演算子に置き換えられることで、確率的性質が量子系にも適用されることが示されます。

このように、リウヴィルの定理は、古典的な力学の枠を超えて、さまざまな物理学の理論や実験の理解に貢献している重要な概念です。その適用範囲は広く、物理学の根底にある原則的な理解を深めるのに役立っています。

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