2の平方根

2の平方根とは

2の平方根とは、ある数を2回掛け合わせると2になるような実数のことです。これを数学的に表現すると、`r² = 2` を満たす実数 `r` となります。

このような数は二つ存在し、一つは正の値、もう一つは負の値です。特に正の値はルート2（√2）と表記され、一般的に「にのへいほうこん」として知られています。負の値はマイナスルート2（-√2）と表されます。

概説

√2は無理数、すなわち整数や分数で正確に表すことができない数です。人類が古くから知っていた数のうち、おそらく最も早期に発見された無理数だろうと考えられています。√2は、一辺の長さが1の正方形の対角線の長さに等しいことが幾何学的に知られており、この性質は√2の発見とも深く関わっています。

√2は無理数であるため、その小数展開は規則的に繰り返す（循環する）ことなく無限に続きます。小数点以下の値は、例えば以下のようになります。

1.414213 562373 095048 801688 724209 698078 569671 875376 948073 176679 737990 732478 462107 038850 387534 327641 57…

この最初の数桁を覚えるための語呂合わせとして、「一夜一夜に人見頃（ひと よ ひと よ に ひと み ご ろ）」がよく知られています。

数学的な性質

√2は特定の代数方程式の根となる代数的整数です。具体的には、有理数係数の多項式 `x² - 2 = 0` の根となります。この多項式は有理数体の上で既約であり、√2の性質を理解する上で重要です。

√2の近似値としては、`99/70` がよく知られています。この値は `1.41428571…` となり、√2に非常に近い値です。特に、分母・分子が2桁の分数としては、√2に最も近い近似分数です。

また、√2は連分数として `[1; 2, 2, 2, ...]` という非常に規則的な形で表現できます。この連分数を途中で打ち切ることで、√2の優れた近似値を得ることができます。

歴史

√2は非常に古くから人々に知られていました。紀元前2000年から1650年頃のバビロニアの粘土板には、√2の非常に高精度な近似値が六十進法で記されています。また、古代インドの数学書「シュルバ・スートラ」（紀元前800年から200年頃）にも、分数による√2の精緻な近似方法が記述されています。

√2が無理数であることの発見は、古代ギリシャのピタゴラス教団に属していたとされるヒッパソスによると言われています。彼は√2を分数で表そうとする中で、それが不可能であること、すなわち無理数であることを（おそらく幾何学的に）証明したとされています。しかし、数の絶対的な調和を信じていたピタゴラスとその教団は、無理数の存在を認めようとしませんでした。彼らは無理数を「アロゴン（口にできないもの）」と呼び、その秘密を守ろうとしましたが、ヒッパソスは無理数の存在を公表したために追放され、あるいは溺死させられたという伝説が残っています。このエピソードは、無理数の発見がいかに衝撃的であったかを示しています。

無理数であることの証明

√2が無理数であることの証明には、いくつかの方法があります。最も古典的でよく知られているのは背理法を用いた証明です。

√2が有理数であると仮定すると、互いに素な二つの整数 m, n を用いて `√2 = m/n` と表すことができます。両辺を2乗すると `2 = m²/n²` となり、`m² = 2n²` が得られます。この式は m² が偶数であることを示しており、したがって m 自身も偶数であることが導かれます。そこで m = 2k （kは整数）とおいて元の式に代入すると、`(2k)² = 2n²` から `4k² = 2n²`、さらに `2k² = n²` となります。これは n² が偶数であることを示しており、したがって n 自身も偶数であることが導かれます。結局、mもnも偶数ということになりますが、これは最初にmとnを互いに素であると仮定したことに矛盾します。この矛盾は最初の仮定（√2が有理数である）が誤りであったことを意味するため、√2は無理数であると結論付けられます。

他にも、有理根定理や素因数分解の一意性を用いた証明、あるいは背理法を用いない構成的な証明方法も存在します。

日常生活における2の平方根

√2の比率は、私たちの身の回りの様々なところに応用されています。

最も有名なのは、国際標準化機構（ISO 216）で定められた用紙サイズ（A列やB列）です。A4やA3といった用紙は、長辺と短辺の比がほぼ `1 : √2` となっています。この比率の利点は、用紙を長辺の中央で半分に折ると、元の紙と相似な、面積が半分の新しいサイズの用紙が得られることです。例えば、A3を半分に折るとA4になり、A4を半分に折るとA5になります。この性質により、規格サイズの用紙から効率的に小さいサイズの用紙を作成できます。

この `1 : √2` の比率を持つ長方形は白銀長方形（ルート長方形）と呼ばれます。用紙サイズ以外にも、日本の建築モジュールの考え方や、大工さんが使う指矩（さしがね）の裏面に刻まれた「角目」と呼ばれる特殊な目盛にも√2の比率が応用されており、丸太から最大の正方形の角材を切り出す際の寸法決めに使われることがあります。

小数表示の求め方

√2の小数表示を求めるには、開平法と呼ばれる方法が効率的です。これは、筆算によって√2の値を桁ごとに計算していくアルゴリズムです。現代では電卓やコンピューターを使えば簡単に高精度な値を求められますが、手計算で求める歴史的な方法として開平法があります。

まとめ

2の平方根、特に√2は、数学の基本的な概念でありながら、無理数の発見という数学史上の重要な出来事と関わり、また用紙サイズをはじめとする日常生活や技術にも広く応用されている、非常に興味深い数と言えます。

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