包含写像

包含写像とは

数学における包含写像（inclusion map）または標準単射（canonical injection）とは、ある集合 A が別の集合 B の部分集合であるとき、A の各要素 x を B の要素としてそのまま対応させる写像のことです。この写像はしばしば ι (イオタ) で表され、以下のように定義されます。

math
\iota : A \to B, \quad (\iota(x) := x)


包含写像は、写像の矢印に「鉤付き矢印」↪ を用いて A ↪ B と表すこともあります。これは、A が B の部分集合であることを明示的に示しています。

包含写像は、与えられた部分構造をより大きな構造の中に埋め込むという、非常に自然な操作を表現します。そのため、自然な単射とも呼ばれます。

包含写像の応用

包含写像は、数学の様々な分野で広く応用されています。特に代数学においては、代数的構造の準同型写像として現れることが多く、その場合は埋め込み写像となります。

例えば、二項演算 ⋆ を持つ代数構造において、部分構造 A が演算 ⋆ に関して閉じている場合、包含写像 ι は以下のような性質を満たします。

math
\iota(x \star y) = \iota(x) \star \iota(y)


これは、部分構造における演算結果が、上位構造における演算結果と矛盾しないことを意味します。単項演算や零項演算についても同様のことが言えます。包含写像は、部分構造が上位構造の中で自然に扱われるための橋渡し役となるのです。

代数幾何学では、包含写像は位相的な性質を調べる際にも重要です。例えば、A が X の強変位レトラクトである場合、包含写像はホモトピー群の間の同型写像となり、位相的な同値性を示すのに役立ちます。

幾何学においては、部分多様体の埋め込みが包含写像の例として挙げられます。また、微分形式のような反変対象に対しては、部分多様体への「制限」という操作から包含写像が誘導されます。

より高度な例として、アフィンスキームにおける包含写像があります。可換環 R とそのイデアル I に対して、Spec(R/I) → Spec(R) や Spec(R/I2) → Spec(R) といった包含写像は異なる射として扱われます。

その他の関連概念

包含写像と関連する概念として、以下のようなものがあります。

コファイブレーション: 位相空間における特定のタイプの包含写像に関連する概念です。
恒等写像: ある集合からそれ自身への写像で、すべての要素をそれ自身に写す写像です。包含写像は、ある意味で恒等写像の特殊なケースと見なせます。

まとめ

包含写像は、数学における基本的な概念であり、部分構造をより大きな構造に埋め込むという自然な操作を表現します。代数学、幾何学、位相数学など、幅広い分野で応用されており、数学的な構造を理解する上で欠かせないツールとなっています。

参考文献

Chevalley, C. (1956), Fundamental Concepts of Algebra, Academic Press, New York, ISBN 0-12-172050-0.
Mac Lane, S.; Birkhoff, G. (1967), Algebra, AMS Chelsea Publishing, Providence, Rhode Island, ISBN 0-8218-1646-2.

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