同型定理

同型定理の概要

同型定理は、主に抽象代数学の分野で中心的な役割を果たす定理群であり、商、準同型、および部分対象の関係を明らかにするものです。これらの定理は、群、環、ベクトル空間、加群、リー環などのさまざまな代数的構造に適用可能であり、代数論の理解を深めるための基盤となっています。特に、同型定理は普遍代数学の枠組みで広く一般化され、代数と合同の文脈においても重要な意义を持ちます。

同型定理の歴史

同型定理の初出は、エミー・ネーターによる1927年の研究にさかのぼります。彼女は「Mathematische Annalen」において「Abstrakter Aufbau der Idealtheorie in algebraischen Zahl- und Funktionenkörpern」という論文を発表し、加群の準同型に関する一般的な定理を提唱しました。それ以前にも、リチャード・デデキントの研究などで早期のバリエーションが存在しましたが、ネーターの論文において、この理論は一つの体系として定式化されました。

1929年には、B.L.バン・デル・ワーデンが「Algebra」という影響力のある教科書を出版し、群、環、体のアプローチから抽象代数を解説しました。バン・デル・ワーデンは、ネーターの講義やエミル・アルティンの代数学に関する講義を参照し、同型定理の重要性を強調しました。このように、同型定理は代数の発展において重要な道標となり続けています。

群における同型定理

群の文脈においては、通常4つの同型定理が考慮されます。しかし、この番号付けや命名は文献によって異なるため、注意が必要です。以下に、一般的に知られる定理の内容を簡単に説明します。

• - 第1同型定理は、群の準同型が持つ核と像に関するものです。群GとHと準同型φがあるとき、φの核はGの正規部分群となり、像はHの部分群であり、また商群G/ker(φ)に同型であることを示しています。

• - 第2同型定理は、部分群Sと正規部分群Nの性質を扱います。これにより、積SNがGの部分群であり、共通部分S∩NはSの正規部分群となることが示されます。

• - 第3同型定理は、二つの正規部分群間の関係を探ります。ここでは、商群の同型が関わってきます。

定理の中には「第四同型定理」と呼ばれるものもありますが、この定理は通常、他の文献では異なる定義がされているため、一様の理解を得ることは難しい場合があります。

環と加群における同型定理

環に関する同型定理も同様の形で構成でき、特に準同型と核の概念はイデアルに対して一般化されています。

• - 環RとS、両方の間の準同型φがある場合、φの核はRのイデアルであり、像はSの部分環となります。

加群においても、同型定理は重要です。特に、加群の部分開集合の和や共通部分を考えると、商加群の同型が得られます。この同型は、ベクトル空間やアーベル群においても特に顕著です。

普遍代数学における一般化

普遍代数学の枠組み内で、同型定理をさらに一般化することも可能です。正規部分群の概念は合同（congruence）で置き換えられ、代数系の準同型と合同の関係が示されることになります。これは、代数の構造の同型を理解する上で重要な側面となります。

結論

同型定理は数学、とりわけ代数の基本的かつ強力な道具であり、代数的構造の特徴や関係を深く理解するための鍵を提供します。その歴史は豊かで、数多くの数学者による研究と発展の成果として、今日でも学問の様々な分野で応用されています。

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