回転数 (数学)

回転数：平面曲線の巡り方

数学において、回転数 (winding number) とは、平面上の閉曲線が特定の点の周りを何回反時計回りに回るのかを表す整数です。時計回りに回った場合は負の整数で表されます。この一見単純な概念は、代数トポロジー、ベクトル解析、複素解析、幾何学的トポロジー、微分幾何学といった数学の様々な分野、さらには弦理論を含む物理学においても重要な役割を果たしています。物理学の文脈では、しばしば巻付き数と呼ばれます。

直感的な理解

xy平面上の閉曲線を考えてみましょう。この曲線を、ある物体の移動経路とみなします。物体の移動方向が曲線の向きを示します。すると、回転数は原点の周りを反時計回りに回った回数になります。反時計回りの回転は正、時計回りの回転は負として数えます。例えば、原点を4回反時計回りに回り、その後1回時計回りに回った場合、回転数は4-1=3となります。原点の周りを全く回らない場合は回転数は0、時計回りに回る場合は負の回転数となります。つまり、回転数は任意の整数を取り得ます。

正式な定義

xy平面上の曲線は、パラメトリック方程式 x = x(t), y = y(t) (0 ≤ t ≤ 1) で定義できます。ここで、tを時間と考えると、これらの式は時間0から1の間における平面上の物体の動きを表します。x(t), y(t)が連続であれば、この動きは曲線になります。t=0とt=1で物体の位置が同じであれば、この曲線は閉じています。

原点を通らない閉曲線の回転数を定義するために、極座標系を利用します。パラメトリック方程式を極形式 r = r(t), θ = θ(t) (0 ≤ t ≤ 1) に書き換えます。ここで、r>0であり、r(t)とθ(t)は連続です。閉曲線なので、θ(1)とθ(0)は2πの整数倍だけ異なります。この整数が回転数です。すなわち、回転数 = (θ(1) - θ(0)) / (2π) となります。

この定義は原点周りの回転数ですが、座標系を変えることで任意の点p周りの回転数に一般化できます。

代替的な定義

回転数は数学の様々な分野で異なる方法で定義されますが、これらは上で示した定義と同値です。

微分幾何学

微分幾何学では、パラメトリック方程式は通常微分可能（または区分的に微分可能）と仮定されます。この場合、極座標θは直交座標x,yと次の関係があります。dθ = (x dy - y dx) / r^2 (r^2 = x^2 + y^2)。微分積分学の基本定理より、θの総変化量はdθの積分に等しいので、微分可能な閉曲線の回転数は次の線積分として表現できます。回転数 = (1/(2π))∮c (x/r^2)dy - (y/r^2)dx。

複素解析学

複素解析学では、複素平面上の閉曲線Cの回転数は複素座標z = x + iyを用いて表現できます。dz/z = dr/r + i dθより、ln(r)の総変化量は0なので、dz/zの積分はi倍のθの総変化量に等しくなります。よって、回転数 = (1/(2πi))∮c dz/z。より一般的に、Cの任意の複素数a周りの回転数は(1/(2πi))∮c dz/(z-a)で与えられ、これはコーシーの積分公式の特別な場合です。

トポロジー

トポロジーでは、回転数は連続写像の写像度とも呼ばれ、物理学では位相的量子数と呼ばれることもあります。平面上の点の補集合は円にホモトピー同値であり、円から自身への写像は円のn乗写像sn→sn:s↦snにホモトピックです。円の基本群は整数Zであり、複素曲線の回転数はまさにそのホモトピー類を表します。

多角形

多角形では、回転数は多角形密度と呼ばれます。凸多角形や単純多角形では密度は1ですが、正星多角形{p/q}では密度はqになります。

Turning number

道の回転数を、道の接線に関する回転数として考えることもできます。これは速度ベクトルの原点に関する回転数となり、全曲率を2πで割ったものとして計算できます。これはturning numberと呼ばれ、はめ込まれた道（微分がどこでも消えない微分可能な道）に対してのみ定義されます。

回転数と物理学

回転数は(2+1)次元連続ハイゼンベルク強磁性方程式や石森方程式といった物理方程式とも関係が深く、これらの解は回転数または位相的電荷によって分類されます。

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