大円距離

大円距離とは

大円距離は、球面上における2点間の最短距離を指します。この距離は、球面における大円の弧長に基づいています。特に地球の表面に関しては、これを「大圏距離」として言及することが多く、航空機や船舶が航路を計算する際に重要な役割を果たします。

大円の性質と大円距離の決定

球面上の2点間には、直線的な距離は存在しませんが、ユークリッド空間では通常、直線距離が最小となることが知られています。これに対し、球面では「測地線」と呼ばれる経路を用いて距離を求めます。測地線は球の中心を基準にした大円として表されるため、上述の大円距離は実際にはその弧の長さとなります。このように、球面上のどの2点においても、大円が一意的に決定され、2点を結ぶ大円は必ず存在します。

対蹠点の場合

ただし、特定の条件下では特別な取り扱いが必要です。対蹠点においては、その2点を結ぶ全ての円が大円とみなされますが、興味深いことに、これらの円における弧の長さは固定されているため、大円距離は常に一定になります。具体的には、半径がrの球においては、その弧の長さはπrに等しいのです。

大円距離の計算方法

大円距離dは、地球の半径rと中心角Δσを用いて求めることができます。式は次のように表されます：

$$ d = r imes Δσ $$

この距離を求める際、出発点及び中間点における方位角も計算する必要があります。特に海里の計算では、度数法の分数をそのまま用いることが多いです。

球面余弦定理を使った計算

大円距離の計算には球面余弦定理が利用されます。具体的には、2つの点の緯度（ϕ）と経度（λ）の情報を元に、中心角Δσを次のように求めます：

$$ Δσ = arccos(sinϕ_1 imes sinϕ_2 + cosϕ_1 imes cosϕ_2 imes cosΔλ) $$

この方法は、特に近距離での計算が難しいとの歴史的経緯がありますが、現代の計算機では最大で約1mmの誤差で済みます。

Haversine関数による他の計算方法

Haversine関数を用いた距離の計算も多く利用されており、これにより余弦定理に伴う欠点を緩和しています。Haversineによる式は次の通りです。

$$ Δσ = archav(havΔφ + cosϕ_1 imes cosϕ_2 imes havΔλ) $$

ここで、havはハバーサイン（半正弦）関数を示し、計算を簡素化する役割を果たします。

まとめ

大円距離は、地球上に限られた特性を持ちながら、非常に重要な測地学の概念として確立されています。旅行や航海における計画に必要不可欠な要素であり、さまざまな数学的手法を用いて求められています。正確な距離の計算性能は、現代の計算機を活用することで飛躍的に向上しています。

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