局所コンパクト空間

概念と定義

数学における局所コンパクト空間とは、位相空間 `X` の各点 `x` に対して、`x` を含むコンパクトな近傍が存在する性質を持つ空間のことです。これは直感的には、「空間のどの点の周りも、小さく切り取ればコンパクトになる」という性質を表しています。位相空間がコンパクトであるという条件は非常に強い制限ですが、局所コンパクト性はそれよりも緩やかであり、数学で重要視される多くの空間がこの性質を持っています。

特に、局所コンパクトハウスドルフ空間は多くの数学分野で基本的な舞台となります。これは、局所コンパクトであることに加え、任意の異なる2点が互いに交わらない近傍を持つという分離公理（ハウスドルフ性）を満たす空間です。

局所コンパクト性の定義にはいくつかの同値な表現が存在します。代表的なものを以下に挙げます：

1. 任意の点 `x ∈ X` に対し、`x` のコンパクトな近傍が存在する。
2. 任意の点 `x ∈ X` に対し、`x` の閉でありかつコンパクトな近傍が存在する。
3. 任意の点 `x ∈ X` に対し、`x` のコンパクトな近傍が `x` の近傍基をなす。
4. 任意の点 `x ∈ X` に対し、`x` のコンパクトな閉近傍が `x` の近傍基をなす。

一般の位相空間ではこれらの定義は必ずしも同値ではありませんが、ハウスドルフ空間においては、これらの定義は全て同値になります。例えば、無限集合に補有限位相を入れた空間は定義1, 2, 3を満たしますが4は満たしません。有理数全体 `Q` の一点コンパクト化は定義1, 2を満たしますが3, 4は満たしません。このように、ハウスドルフ性が無い場合には、定義のバリエーションによって性質が異なってきます。

例

多くの馴染み深い空間が局所コンパクトです。

局所コンパクトハウスドルフ空間の例：

コンパクトハウスドルフ空間： [0, 1]のような閉区間、閉多様体、カントール集合、ヒルベルト立方体など、コンパクトなハウスドルフ空間はすべて局所コンパクトです。
コンパクトでない局所コンパクトハウスドルフ空間：
ユークリッド空間 `R^n` （特に実数直線 `R`）。ハイネ・ボレル定理により、有界閉集合がコンパクトであるため、任意の点の周りにコンパクトな閉球をとることができます。
位相多様体。局所的にユークリッド空間に同相なので局所コンパクトです。
離散空間。任意の点が一点集合というコンパクトな近傍を持つため、局所コンパクトです。これは有限集合であればコンパクトでもあります。
局所コンパクトハウスドルフ空間の任意の開集合または閉集合も、部分空間としての位相で再び局所コンパクトになります。
p-進数の空間 `Q_p` も局所コンパクトです。

ハウスドルフだが局所コンパクトでない例：

有理数空間 `Q` （実数直線 `R` からの相対位相）。`Q` の空でないコンパクト部分集合は内点を持たないため、どの点もコンパクトな近傍を持ちません。
無限次元ノルム空間（例：無限次元ヒルベルト空間）。このような空間において、閉球はコンパクトになりません（これはリース多様体定理の帰結です）。したがって、任意のT0な（特にハウスドルフな）無限次元位相線型空間は局所コンパクトではありません。
実数 `R` に下極限位相や上極限位相を入れた空間。

性質

任意の局所コンパクト前正則空間（特に局所コンパクトハウスドルフ空間）は完全正則空間（チホノフ空間）になります。慣習的に、局所コンパクト前正則空間は局所コンパクト正則空間、局所コンパクトチホノフ空間は局所コンパクトハウスドルフ空間と呼ばれることが多いです。
局所コンパクトハウスドルフ空間はベール空間です。これは、疎集合の可算和が空間全体を覆わないことを意味し、関数解析などで重要です。
局所コンパクトハウスドルフ空間 `Y` の部分空間 `X` が局所コンパクトである必要十分条件は、`X` が `Y` の開集合と閉集合の共通部分として表せることです。
局所コンパクト空間においては、関数の局所一様収束とコンパクト収束の概念が一致します。

一点コンパクト化と無限遠点

局所コンパクトハウスドルフ空間 `X` は、ただ一点「無限遠点」を付け加えることで、コンパクトハウスドルフ空間に埋め込むことができます。これを一点コンパクト化 `a(X)` と呼びます。`X` が局所コンパクトハウスドルフであることと、`a(X)` がコンパクトハウスドルフ空間であることは同値です。このことから、局所コンパクトハウスドルフ空間は、コンパクトハウスドルフ空間の開部分集合として特徴づけられると言えます。

この無限遠点の概念を用いると、解析学の直感的なアイデアを定式化できます。例えば、局所コンパクトハウスドルフ空間 `X` 上で定義された連続関数 `f` が「無限遠で消える」とは、`X` の外側に行くにつれて関数の値が0に近づくことを意味します。このような関数全体の集合 `C_0(X)` は重要な関数空間であり、C-環をなします。実は、可換なC-環の圏と局所コンパクトハウスドルフ空間の圏は、ゲルファント表現によって双対であることが知られています。

応用：局所コンパクト群

局所コンパクト性の概念は、位相群の研究において非常に重要です。特に、ハウスドルフ性を満たす局所コンパクト群 `G` には、ハール測度と呼ばれる自然な測度が存在します。この測度によって、群上の関数の積分を定義することができ、調和解析の基礎となります。

また、局所コンパクトアーベル群のポントリャーギン双対は再び局所コンパクトアーベル群となり、ポントリャーギン双対性はこの圏における自己双対性を定めます。これは、フーリエ解析を局所コンパクトアーベル群上に一般化する上で不可欠な概念です。

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