層係数コホモロジー

層コホモロジー

数学の分野における層コホモロジーは、特定の数学的対象である「層」に関する重要な概念です。特に、アーベル群の値を持つ層を研究対象とし、ホモロジー代数の強力な手法を用いることで、その層が持つ「大域切断」と呼ばれる要素を具体的に計算することを可能にします。これは、例えば幾何学的な図形の持つ性質を数値として捉える際などに、その不変量の次元を計算する上で非常に有用なツールとなります。

層コホモロジーの理論は、1950年代に入ってから急速に発展しました。この理論は、それ以前から存在したリーマン・ロッホの定理や、代数幾何学における因子の線形系に関する解析、さらには多変数複素関数論やホッジ理論といった様々な数学分野と深く結びついています。層コホモロジー群の持つ「ランク」（あるいはベクトル空間の次元）は、研究対象の幾何学的な構造に関する新しい情報源を提供したり、あるいは既存の研究成果を新たな視点から解釈し直す機会を与えたりするものです。

層コホモロジーへの動機

層コホモロジーが誕生した背景には、ある種の数学的な問題意識がありました。位相空間 $X$ 上の層 $\mathcal{A}, \mathcal{B}, \mathcal{C}$ の間の「短完全系列」とは、層の準同型写像 $\varphi: \mathcal{A} \to \mathcal{B}$ と $\psi: \mathcal{B} \to \mathcal{C}$ からなる列
$0 \to \mathcal{A} \stackrel{\varphi}{\to} \mathcal{B} \stackrel{\psi}{\to} \mathcal{C} \to 0$
が完全列である状態を指します。これは、$\varphi$ が単射であり、$\psi$ が全射であり、かつ $\varphi$ の像と $\psi$ の核が一致するという条件を満たすことを意味します。この短完全系列からは、層の切断（局所的な構造を貼り合わせてできる大域的な要素）に関する系列
$0 \to \Gamma(X, \mathcal{A}) \stackrel{\varphi_}{\to} \Gamma(X, \mathcal{B}) \stackrel{\psi_}{\to} \Gamma(X, \mathcal{C})$
が導かれます。ここで $\Gamma(X, -)$ は層の全体の大域切断をとる函手を表します。しかし、一般的にはこの $\psi_$ は全射になるとは限りません。層コホモロジーを考える動機の一つは、この切断の系列の右側にどのような数学的対象を補うことで、「長完全系列」と呼ばれる、より豊かな構造を持つ系列を構成できるかという問題意識にありました。これは、有理型関数の存在に関するクザン問題などを研究する上で特に重要となります。

層コホモロジーの定義

層コホモロジーの定義にはいくつかの方法がありますが、主要なものを以下に示します。

チェックコホモロジー

最初に考案された層コホモロジーの一つに、チェックコホモロジーがあります。これは、位相空間 $X$ の開集合の「被覆」（小さな開集合の集まり）を用いて構成されるもので、各開集合上で変化するアーベル群の値を持つ層を扱います。この定義の利点は、コチェインと呼ばれる要素が具体的に書き下しやすい点にあります。そのため、有理型関数のクザン問題など、具体的な数学の問題への応用が比較的容易でした。しかし、この理論には、空間 $X$ 自体が特定の良い性質（例えば多様体であること）を持たない場合（特に代数幾何学で用いられるザリスキー位相のような非ハウスドルフ的な空間）、層の短完全系列に対応するコホモロジー群の長完全系列がうまく得られないという問題点がありました。この困難に対し、ジャン・ピエール・セールは特定の条件下でチェックコホモロジーが機能することを示し、一方、アレクサンドル・グロタンディークは、より一般的で抽象的な定義を提唱しました。

導来函手による定義

グロタンディークによる定義は、層の圏における「大域切断函手」$\Gamma_X: \mathcal{F} \mapsto \mathcal{F}(X)$ の「導来函手」として層コホモロジーを定義するものです。大域切断函手は「左完全函手」ですが、一般には完全函手ではありません。ホモロジー代学における理論により、このような函手には「右導来函手」の系列 $H^i(X, \mathcal{F})$ ($i \geq 0$) が存在します。これが層 $\mathcal{F}$ を係数とする位相空間 $X$ の層コホモロジー群 $H^i(X, \mathcal{F})$ です。この定義は、層のアーベル圏が特定の性質（入射対象を持つこと）を満たすことに基づいており、理論の基礎を提供します。コホモロジー群の具体的な計算は、この定義に基づいて、例えば入射分解や、より計算に適した細層、軟弱層、アサイクル層といった特別な性質を持つ分解を用いることで行われます。この導来函手による定義は、チェックコホモロジーが抱えていた短完全系列の問題を克服し、常に長完全系列が得られることを保証しました。

応用分野

層コホモロジーは、現代数学の多くの分野で不可欠なツールとなっています。代数幾何学や複素多様体の研究における標準的な手法であることはもちろん、変換群論におけるボレル・ムーアホモロジーや、表現論におけるボレル・ボット・ヴェイユの定理などにも影響を与えました。また、エタール・コホモロジー、平坦コホモロジー、クリスタリン・コホモロジーといった、より進んだコホモロジー理論も、層と層コホモロジーの概念を応用・再解釈することで生まれました。

オイラー標数

層コホモロジーに関連する重要な概念に、層 $\mathcal{F}$ のオイラー標数 $\chi(\mathcal{F})$ があります。これは、層コホモロジー群 $H^i(X, \mathcal{F})$ のランク（次元）を用いて、$\chi(\mathcal{F}) := \sum_{i \geq 0} (-1)^i \operatorname{rank}(H^i(X, \mathcal{F}))$ という交代和として定義されます。この定義が意味を持つためには、コホモロジー群が有限個の $i$ を除いて零であり、かつ各 $H^i(X, \mathcal{F})$ のランクが有限である必要があります。特に、連接層のような特定の種類の層に対しては、これらの有限性が保証され、オイラー標数を計算することができます。オイラー標数は、ヒルツェブルフ・リーマン・ロッホの定理やグロタンディーク・リーマン・ロッホの定理といった強力な定理を通じて、個々のコホモロジー群のランクを直接計算するよりも容易に求められる場合があります。実践的には、$H^0(X, \mathcal{F})$ （大域切断全体を表す群）が最も関心を持たれる対象であり、他の $H^i(X, \mathcal{F})$ ($i>0$) に関する消滅定理を利用して、$H^0$ のランクを計算する間接的な方法がよく用いられます。

他のコホモロジー論との関係

特定の条件下では、層コホモロジーが他の重要なコホモロジー論と一致することが知られています。例えば、局所可縮な位相空間においては、任意のアーベル群 $A$ を「定数層」とみなしたときの層コホモロジー群は、空間の特異コホモロジー群 $H^(X, A)$ と一致します。

層コホモロジーは、抽象的な理論である一方で、代数幾何学や複素解析における具体的な問題解決に不可欠な道具を提供し、現代数学の様々な分野を結びつける中心的な概念の一つとなっています。

もう一度検索