幾何学基礎論

幾何学基礎論は、ユークリッド幾何学の公理系に関する研究を指します。この分野は、平行線公準の問題から非ユークリッド幾何学が生まれたことを契機として、ユークリッド幾何学自体の厳密性に対する疑問が投げかけられたことから始まりました。

具体的には、以下の問いに対する答えを求めることを目的としています。

矛盾のない幾何学を構築するためには、どのような公理系が必要なのか？
それらの公理系から構成される幾何学は、どのような構造を持つのか？
異なる公理系に基づく複数の幾何学体系間の関係はどうなっているのか？

これらの疑問を解決するために、幾何学基礎論の研究が進められてきました。同時期には、ラッセルのパラドックスに代表されるように、集合論においても同様の問題が発生しており、数学の基礎そのものに対する疑問が持たれる時代でした。

このような状況の中、ヒルベルトは形式主義に基づくアプローチによってこれらの問題に取り組むことを試み、ヒルベルトの公理系を考案しました。彼の著書『幾何学基礎論』は、ユークリッド幾何学の公理系を最も厳密に検証した著作として知られています。この著作では、従来のユークリッド幾何学における曖昧な部分を明確にし、公理系の無矛盾性や独立性について議論しています。ヒルベルトの業績は、その後の数学基礎論に大きな影響を与えました。

さらに現代的な公理系としては、タルスキの公理系が挙げられます。タルスキの公理系は、ヒルベルトの公理系をさらに厳密化したものであり、より形式的な体系を構築しています。タルスキの公理系についての詳細は、彼の著書『Metamathematische Methoden in der Geometrie』で確認することができます。

幾何学基礎論は、数学の基礎を支える重要な分野であり、その研究は現代数学の発展に不可欠です。公理系の厳密な研究は、数学的な議論の基礎を確固たるものにし、数学における矛盾や曖昧さを排除することに貢献しています。

参考文献

足立恒雄『よみがえる非ユークリッド幾何』日本評論社、2019年8月。ISBN 978-4-535-78879-4。
ヒルベルト『幾何学原理』林鶴一・小野藤太 訳、大倉書店〈数学叢書 第15編〉、1913年。NDLJP:933915。 - 原タイトル：Grundlagen der Geometrie。原書第4版の邦訳。
D・ヒルベルト『幾何学基礎論』中村幸四郎 訳、筑摩書房〈ちくま学芸文庫Math&Science〉、2005年12月。ISBN 978-4-480-08953-3。 - 1930年に出版された原書第7版の邦訳。
D・ヒルベルト『ヒルベルト 幾何学の基礎 クライン エルランゲン・プログラム』寺阪英孝・大西正男 訳・正田建次郎 解説・吉田洋一 監修、共立出版〈現代数学の系譜 第7巻〉、1970年6月。ISBN 978-4-320-01160-1。 - クラインのエランゲンプログラムの日本語訳と合本。原書第7版の邦訳。

関連項目

ユークリッド幾何学
非ユークリッド幾何学
公理系
ヒルベルトの公理系
タルスキの公理系

外部リンク

『幾何学基礎論』 - コトバンク
幾何学基礎の英訳のTeX、PDF版 (無料)

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