捩れ (代数学)

捩れの概念

抽象代数学における「捩れ」という用語は、特定の代数的対象における特性を指し示します。これには主に二つのフォーカスがあります：群における捩れ元（トーション元）および環上の加群における捩れ元です。その名称は、捩れた形状に関連したホモロジー群から派生しています。

定義と基礎

捩れには二つの主要な定義があります。まず、群の文脈においては、群 G の元 g が有限位数を持つ時、すなわち正の整数 m が存在して g^m = e（e は単位元）となる場合を捩れ元と呼びます。このような元が群 G に存在する場合、群はすべての元が捩れ元から成る「捩れ群」または周期群と呼ばれます。

一方で、環 R 上の加群 M の文脈では、加群の元 m が環の正則元 r により零化される場合、即ち r d7 m = 0 となる元を捩れ元と定義します。このように定義される捩れ元全体の集合は t(M) で表され、t(M) が M の部分加群を形成します。

群における捩れ

群 G において、捩れ元 g が存在する場合、その元が生成する部分群は捩れ部分群と呼ばれます。全てのアーベル群は Z の加群として捩れの概念を適用でき、アーベル群 A の捩れ元 T はその構造に重要な役割を果たします。具体的には、A/T は捩れのない群となります。

例えば、有限群は常に周期的であり、その生成元は固定した整数値の周期を持つことが知られています。バーンサイド問題においては、任意の有限生成の周期群が有限であるかの検証がなされますが、一般にはその答えは否定的です。

加群における捩れ

環 R 上の加群 M において、捩れ元の定義は群のそれと似ています。ただし、特に加群 M が自由である場合、すなわち基底を持つ場合、捩れ元は存在しません。たとえば、体 K 上のベクトル空間は K における加群として捩れを持たないとされます。

一方、主イデアル整域 R 上の有限生成加群は特異な構造を持ち、加群の特性が明確に分類されます。この場合、加群 M は、いわゆる自由部分と捩れ部分から成る直和で表され、特に捩れがない R 上の有限生成加群は自由であることが示されています。

捩れと局所化

可換整域 R と加群 M の間において、加群の局所化が行われる場合、捩れ部分加群はその局所化の特性によっても影響を受けます。特定の積閉部分集合 S に対する S-捩れの概念が導入され、これにより M の元がどのように消失するかを表します。

このように、捩れの概念は様々な状況において重要であり、代数的な構造の理解を深めるための基本的なツールとして機能します。特にホモロジー代数においては、Tor函手が捩れの測定と関係しており、数学の他の分野にも幅広く応用されています。

例と応用

具体的な例としては、アーベル群 Q/Z や行列群 SL(2, Z)などがあり、それぞれの特性を通して捩れの性質が顕在化しています。特にアーベル多様体において捩れ元は捩れ点として知られ、代数幾何学や解析学においてもその考え方が活用されています。

捩れの概念は抽象代数学における基本的な用語であり、モジュール理論や群論の根本的な理解に寄与しています。

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