正則表現 (数学)

群の正則表現

数学の分野、特に群の表現論において、群 G の正則表現とはその群構造が自らに作用することによって形成される線型表現を指します。これは群の要素が自分自身に対して行使する作用によって生成されます。正則表現には、左移動による「左正則表現」と、逆移動による「右正則表現」とがあります。

有限群における正則表現

特に、有限群 G を考えた場合、左正則表現は群の元によって自由に生成された K-ベクトル空間 V の中で展開します。この空間では、群 G の各要素がベクトル空間の基底を形成します。与えられた元 g ∈ G に対して、左正則表現 λ(g) はその要素 g によって群の任意の要素 h を左に移動させる線型写像として定義されます。これは以下のように表されます:

$$
egin{align*}
ext{全ての } h ext{ に対して、} \\
λ(g): h
ightarrow gh
ext{ です。} \\
ext{左移動によって、元 h が g によって変化します。}
ext{次に、右正則表現 ρ(g) は、逆を取ることが求められます。} \\
ext{b.g があったとき、}
ρ(g): h
ightarrow hg^{-1}
ext{ という形に成ります。}
ext{このように、正則表現が群の構造を理解する上で重要である理由はここにあります。}
ext{また、これらの表現は K-ベクトル空間 W に対しても定義可能です。}
ext{関数 f が G から K への写像であるとき、次のように定義されます。}
$$

$$
( ext{λ(g)}f)(x) = f(g^{-1}x) \\
( ext{ρ(g)}f)(x) = f(xg)
$$

正則表現の重要性

群 G の自己作用、すなわち「G が自分自身の上に乗法によって作用する」ということは、トートロジーとも言えます。正則表現は、1つの軌道を持ち、安定化群が単位元のみから成る部分群 {e} に特有のものとして特徴づけられます。与えられる体 K について、G の正則表現は K 上のベクトル空間における基底の置換として捉えることができます。

この表現の特異な点は、他の置換表現が分解しにくいのに対して、正則表現は一般的により小さな表現へと分解できます。例えば、G が有限群で K が複素数体のケースでは、正則表現はその既約表現の直和に分解されます。この際、それぞれの既約表現の重複度はその次元と一致し、また、既約表現の個数は G の共役類の数と同值です。群環の記事では、有限群における正則表現が加群として利用される様子が詳述されています。

位相群における正則表現

位相群 G に対しても、前述の意味での正則表現は適切に修正が必要です。特に、G 上の関数が作用する場合、正則表現は G の適切な関数空間で定義される必要があります。ここで、コンパクト群の場合にはペーター・ワイルの定理が参照されます。G がリー群であって、かつコンパクトでない場合、その解析は難解な問題に直面します。局所コンパクト可換群の場合、ポントリャーギンの双対性理論においてこの問題が扱われます。

関連項目

• - 基本表現
• - 置換表現
• - 準正則表現

このように、群の正則表現に関する理解は、群の構造およびその性質の分析において重要であり、数学の多くの分野において基本的な役割を果たします。その理解は、より高次元の数学的概念に進む上でも必須の知識です。

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