等濃

濃度の概念

数学において、集合の濃度とは、その集合に属する元の数を測定する指標です。二つの集合 A と B の濃度が等しいとは、それらの間に一対一対応する写像、すなわち全単射が存在することを意味します。この全単射により、A のすべての元が B の元に対応し、逆に B のすべての元に対して A の元が一つずつ対応します。濃度が等しい集合は、同数（equinumerous）や等濃（equi­potent）、または対等（equi­pollent）と呼ばれることがあります。

同値関係とその性質

「濃度が等しい」という関係は、数学における同値関係の特性、すなわち反射律、対称律、推移律を満たします。具体的には、次のような定義が成り立ちます。

• - 反射性：任意の集合 A の上で恒等写像を考えれば、それは A から A への全単射となり、従って A ≈ A が成立します。
• - 対称性：集合 A から B への全単射が存在すれば、その逆写像は B から A への全単射であるため、A ≈ B であれば B ≈ A です。
• - 推移性：集合 A, B, C において、A から B への全単射 f 及び B から C への全単射 g が存在すれば、合成写像 g ∘ f は A から C への全単射となり、A ≈ B かつ B ≈ C ならば A ≈ C が成り立ちます。

これらの性質により、集合間の濃度の比較が明確に定義されています。記号的には、A と B が等濃であることを A ≈ B または |A| = |B| と表します。

無限集合における濃度の議論

この全単射を利用した濃度の定義は有限集合にとどまらず、無限集合にも適用されます。これにより、無限の概念における濃度を論じることができます。著名な数学者ゲオルク・カントールは、無限集合の濃度について深い研究を行い、特に1874年に自然数全体の集合と実数全体の集合は異なる濃度を持つことを証明しました。この成果により、集合の濃度という概念は新たな展開を迎えました。

カントールはまた、直積集合や部分集合に関する等濃性を示し、さらには選択公理が成り立つ場合には、各集合の基数（濃度を表す数）はその集合に最も小さい順序数となることを理念としました。選択公理が成り立たない場合でも、特定の方法により同様の性質を持つ集合全体の構造を考えることができます。

様々な種類の濃度

集合の濃度には、デデキント無限集合という概念も含まれます。これは、ある集合がその真部分集合と等濃である場合、その集合がデデキント無限であると呼ばれます。一般には、デデキント無限ではない集合は有限集合となることが示されています。

また、無限系列において各集合はベート数という形式で表され、その濃度の階層が明確に示されます。この系列を通じて、無限集合の性質がさらに明らかになります。

濃度の基数と関連性

集合の濃度はその算術においても重要な役割を果たし、特に非交和集合や直積における性質が濃度の理論において正当化されます。例えば、2 つの集合においてその濃度の加法や乗法が影響を及ぼすことが示され、濃度のフレームワーク内で一貫性を持っています。

このように、集合の濃度の概念は非常に奥深く、集合論の核心を成す要素として広範な応用を示しています。

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