計量ベクトル空間

計量ベクトル空間（内積空間）詳解

線形代数学において、計量ベクトル空間（metric vector space）あるいは内積空間（inner product space）は、ベクトル空間に対し、二つのベクトル間の内積という追加の構造を導入したものです。この内積は、ベクトルの長さや角度といった幾何学的概念を厳密に定義することを可能にし、ベクトル間の直交性も内積を用いて表現できます。ユークリッド空間を任意の次元（無限次元を含む）に一般化した概念であり、特に無限次元内積空間は関数解析学において重要な役割を果たします。

内積の定義

体F（実数体Rまたは複素数体C）上のベクトル空間Vにおいて、内積は写像 ⟨⋅,⋅⟩: V × V → F であり、以下の公理を満たします。

1. 共軛対称性: ⟨x, y⟩ = ⟨y, x⟩⁻ (複素数の場合は共役複素数)
2. 第一引数に関する線型性: ⟨ax + y, z⟩ = a⟨x, z⟩ + ⟨y, z⟩
3. 正定値性: ⟨x, x⟩ ≥ 0, かつ ⟨x, x⟩ = 0 ⇔ x = 0

これらの公理により、内積はベクトル空間上に幾何学的構造を付与します。実数体上の内積空間では共軛対称性は対称性になります。

係数体をRまたはCに限定する理由は、半正定値性の定義に順序体の概念が必要となるためです。有限体では順序体を定義できないため除外されます。また、係数体は特別な自己同型写像を持つ必要があり、RとCはその条件を満たします。有限次元内積空間はRまたはC上では自動的に完備となり、ヒルベルト空間になります。

内積の性質と定理

内積空間では多くの重要な定理が成立します。

コーシー・シュワルツの不等式: |⟨x, y⟩|² ≤ ⟨x, x⟩⟨y, y⟩
直交性: ⟨x, y⟩ = 0 のとき、ベクトルxとyは直交するといいます。
ピタゴラスの定理: ⟨x, y⟩ = 0 ならば、ǁxǁ² + ǁyǁ² = ǁx + yǁ²
パーシヴァルの等式: 完備内積空間において、直交系{xₖ}について、Σₖ⟨x, xₖ⟩² = ǁxǁ² が成立します。
中線定理: ǁx + yǁ² + ǁx − yǁ² = 2ǁxǁ² + 2ǁyǁ²

これらの定理は、内積空間におけるベクトルの幾何学的性質を明らかにします。特に、コーシー・シュワルツの不等式は非常に重要であり、多くの数学的証明に利用されます。

ノルムとヒルベルト空間

内積⟨x, x⟩の平方根は、ベクトルのノルムǁxǁとして定義され、ベクトルの長さを表します。このノルムは内積から自然に導かれ、中線定理を満たします。ノルムに関して完備な内積空間をヒルベルト空間と呼びます。すべての内積空間はヒルベルト空間の稠密な部分空間として埋め込むことができます。

正規直交系

有限次元内積空間では、グラム・シュミットの直交化法を用いて正規直交基底を得ることができます。無限次元空間においても、可分な内積空間や完備内積空間は正規直交基底を持ちます。正規直交基底はフーリエ級数などの関数解析における重要な概念です。

内積空間上の作用素

内積空間の間の線形写像には、様々な種類があります。

連続線形写像: ノルムに関して連続な線形写像
対称線形作用素: ⟨Ax, y⟩ = ⟨x, Ay⟩ を満たす線形作用素
等長作用素: ⟨Ax, Ay⟩ = ⟨x, y⟩ を満たす線形作用素
* 等長同型: 全単射な等長作用素

スペクトル定理は、有限次元内積空間上の対称作用素やユニタリ作用素などの標準形を与えます。この定理はヒルベルト空間上の作用素にも拡張されます。

まとめ

計量ベクトル空間（内積空間）は、ベクトル空間に内積という追加の構造を与えることで、幾何学的概念を厳密に定義することを可能にします。内積から導かれるノルムとヒルベルト空間の概念は、関数解析学など、様々な分野で重要な役割を果たしています。

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