軌道共鳴

軌道共鳴とは

軌道共鳴（orbital resonance）とは、天体力学において、ある天体の周りを公転する複数の天体が、互いに重力の影響を及ぼし合うことで軌道が変化する現象です。この現象は、天体の公転周期が簡単な整数比になる場合に特に顕著に現れます。軌道共鳴には、主に平均運動共鳴と永年共鳴の2種類があります。

歴史

17世紀にニュートンの運動の法則が発見されて以来、惑星軌道の安定性は、多くの数学者の関心を集めてきました。太陽系の惑星の軌道は、太陽とその周りを公転する1つの惑星という2体問題として近似すると安定に見えますが、実際には他の天体の影響を無視できません。他の惑星との相互作用は、微小な摂動であっても、長い時間をかけて惑星の軌道要素を変化させます。しかし、実際には太陽系の惑星は安定した配置を保っているため、惑星の軌道を安定化させるメカニズムが存在すると考えられてきました。

そのメカニズムを最初に解明したのはラプラスで、彼はガリレオ衛星の運動に見られる特異な振動を共鳴理論で説明しました。その後、擾乱が存在しても天体が長期的に安定した軌道を維持できることは、KAM定理によって説明されました。ラプラス以降、軌道共鳴の研究は活発に行われており、現在でも未解明の問題が多く残されています。例えば、巨大惑星の環の粒子と衛星との相互作用によって環の形状が維持される機構などは、まだ解明されていません。

太陽系の惑星や衛星の公転周期が簡単な整数比になっていることが多いことは古くから知られていましたが、1954年のRoyとOvendenの研究により、その出現頻度が偶然では説明できないほど高いことが統計的に実証されました。これは、太陽系の形成過程で、整数比の関係を生み出す何らかの物理的なメカニズムが存在していたことを示唆しています。

共鳴の種類

軌道共鳴は、一般的に以下のような性質を持ちます。

一つまたは複数の様々な軌道要素パラメータの間で発生する（例：離心率と軌道長半径、離心率と軌道傾斜角）。
長期的には、軌道を安定化させる方向に働くこともあれば、不安定化させる方向に働くこともある。

平均運動共鳴

平均運動共鳴（mean motion resonance）とは、中心天体の周りを公転する2つの天体の公転周期の比が、1:2や2:3など、簡単な整数比（尽数関係）になっている状態のことです。ここでいう「平均運動」とは、天体が中心天体の重力によって描く楕円軌道において、1周期で平均した公転角速度のことです。

平均運動共鳴の結果、軌道が安定化する場合と不安定化する場合があります。2つの天体が近接遭遇を起こさないような配置になった場合は、軌道が安定化します。例えば、冥王星や冥王星族天体は、質量が大きな海王星の軌道と交差していますが、3:2の共鳴状態にあるため、海王星から常に離れた位置にあり、安定な軌道を保っています。また、木星と2:3、3:4、1:1の平均運動共鳴の位置にある小惑星は、それぞれヒルダ群、チューレ群、トロヤ群と呼ばれ、安定した軌道を持っています。2015年に発見された小惑星(514107)カエパオカアウェラは、木星とほぼ同じ軌道を逆行することで、軌道が安定している初の事例です。

一方、小さな天体の場合、共鳴によって軌道が不安定化する場合の方が多いです。例えば、小惑星帯には、木星との平均運動共鳴が起こる位置に、小惑星がほとんど存在しないカークウッドの空隙という領域が存在します。この領域にある小惑星は、木星からの摂動を受けて軌道[[離心率]]が上昇し、火星と軌道交差を起こして、領域外へ弾き飛ばされます。

3個以上の天体の公転周期が互いに簡単な整数比になっている場合、ラプラス共鳴（Laplace resonance）と呼ばれます。例えば、木星の衛星ガニメデ、エウロパ、イオは、1:2:4の軌道共鳴状態にあります。

永年共鳴

永年共鳴（secular resonance）とは、公転周期よりも長い時間スケールで小天体の軌道を不安定化させる共鳴です。複数の惑星が公転している系では、惑星同士の重力相互作用によって、惑星軌道の近日点経度が徐々に回転し（近日点歳差）、軌道[[離心率]]の振動、昇交点経度の回転、軌道傾斜角の振動などの変化が起こります。これらの変化は周期が10⁴〜10⁶年と非常に長い時間スケールに及ぶため、永年摂動と呼ばれます。

惑星や小天体の近日点経度または昇降点経度の移動速度が等しくなると、惑星からの重力作用が小天体の軌道[[離心率]]や軌道傾斜角に与える影響が非常に大きくなり、軌道が不安定になります。このような共鳴関係が永年共鳴です。太陽系の場合、近日点経度に関する永年共鳴は、ギリシャ文字νに対応する惑星の番号を太陽に近い順につけて表記します。昇降点経度に関する共鳴も同様に表記されます。

永年共鳴は、小惑星や太陽系外縁天体の軌道進化、惑星形成過程に影響を及ぼしたと考えられています。例えば、小惑星と土星との間には、永年共鳴ν₆と呼ばれる共鳴が存在し、これによって小惑星の軌道[[離心率]]が増加し、火星軌道の内側に入るようになり、最終的には小惑星帯から弾き出されます。また、小惑星と土星の間には、永年共鳴ν₁₆と呼ばれる共鳴があり、これは軌道長半径2天文単位（au）の軌道を持つ小惑星の軌道傾斜角に制限を与えています。

太陽系の平均運動共鳴

太陽系の惑星や衛星の間には、以下の5つの平均運動共鳴が知られています（より大きな整数比の共鳴は、小惑星や惑星の環、小衛星などにのみ見られます）。

2:3 海王星-冥王星
4:2 ミマス-テティス（土星の衛星）
2:1 エンケラドゥス-ディオネ（土星の衛星）
4:3 タイタン-ヒペリオン（土星の衛星）
1:2:4 イオ-エウロパ-ガニメデ（木星の衛星） - 太陽系内で唯一のラプラス共鳴

公転周期の整数比は共鳴の性質を表す便利なものですが、実際には以下のようなより複雑な関係が存在します。

会合点が共鳴によって定義される平衡点の周りを振動する。
軌道の離心率が0でない場合、軌道の昇交点・降交点や近点が移動する（共鳴に関係したこの種の移動は短周期のもので、永年的な歳差とは異なる）。

例えば、イオとエウロパの1:2共鳴を考えると、平均運動（公転周期の逆数で、度/日の単位で表されることが多い）nは以下の関係を満たします。

n_イオ - 2 n_エウロパ = 0

しかし、実際にはイオとエウロパの平均運動の値をこの式に代入しても、結果は0にはなりません。実際には、共鳴自体は完全ですが、ここに近木点（木星に最も近い点）の歳差が加わります。よって、正しい式は以下のようになります（これはラプラス方程式の一部です）。

n_イオ - 2 n_エウロパ + 近木点歳差 = 0

すなわち、イオの平均運動は、近木点の歳差を考慮に入れると、エウロパの平均運動のちょうど2倍になります。もし、移動する近木点からこれらの天体を観測すると、この2つの衛星は、近木点からの離角が常に同じ位置で会合を迎えるのが見られます。上に挙げた他の平均運動共鳴の例でも同様の関係が満たされています。ただし、ミマスとテティスの場合は例外で、以下の式を満たします。

2 n_ミマス - 4 n_テティス + 近木点歳差 = 0

この場合、会合点は両衛星の交点の中点を中心として振動します。

ラプラス共鳴

イオ、エウロパ、ガニメデに見られる最も注目すべき軌道共鳴では、以下の関係によって、衛星同士の軌道上の位相が同期しています。

λ_イオ - 3 λ_エウロパ + 2 λ_ガニメデ = 一定

ここで、λは衛星の平均黄経です。この関係があるため、この系では3つの衛星の三重会合は決して起こりません。

「準」平均運動共鳴

太陽系の衛星の中には、以下のように共鳴に近い関係のものも存在します。

土星系: (5:3) レア-ディオネ
天王星系: (3:1) ウンブリエル-ミランダ, (5:3) ウンブリエル-アリエル, (2:1) チタニア-ウンブリエル, (3:2) オベロン-チタニア

土星系や木星系に共鳴が存在するにもかかわらず、天王星系に完全な共鳴が見られない理由は分かっていません。

また、海王星-冥王星以外の惑星の公転周期についても、以下のような準共鳴状態が存在すると主張する者もいます。

(2:1) 海王星-天王星
(3:1) 天王星-土星
(5:2) 木星-土星

しかし、これらの準尽数関係については、様々な研究が行われているにもかかわらず、有力な証拠は得られていません。

太陽系外惑星の軌道共鳴

惑星同士の軌道共鳴関係は、太陽系外の惑星系でも多数発見されています。3個以上の惑星が共鳴関係を成している例も発見されており、例えばグリーゼ876では、3つの惑星が、木星のガリレオ衛星と同様に1:2:4の公転周期で公転しています。

大質量（木星質量以上）の惑星では、2:1の平均運動共鳴にあるペアが多く見出されています。このような共鳴関係は、惑星形成の過程で、隣接する惑星が惑星移動（軌道半径の変化）を起こした場合に生じるとされています。一方、低質量の系外惑星でも共鳴は発見されていますが、大質量惑星と比べてその頻度が低いことが、ケプラー宇宙望遠鏡の観測により判明しています。

参考文献

Carl D. Murray; Stanley F. Dermott (1999). Solar System Dynamics. Cambridge University Press. ISBN 0-521-57597-4

関連項目

ラグランジュ点
自転と公転の同期
潮汐固定
ティティウス・ボーデの法則
共鳴外縁天体
* 古在共鳴

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