離散群

離散部分群とは

数学において、離散部分群は位相群に属する特定の部分群を指します。この群は、その元が開被覆において一つだけ選ばれる性質を持っています。

具体的には、ある位相群 $G$ の離散部分群 $H$ に対して、すべての開部分集合が $H$ の元を一つだけ含むような開被覆が存在します。言い換えると、$H$ は $G$ において離散位相を持っています。例えば、整数全体の集合 $Z$ は実数全体の集合 $R$ の離散部分群の一例です。一方、例えば有理数全体の集合 $Q$ などは、この条件を満たしません。これにより、離散群は自然に離散位相を持つ位相群として理解されています。

離散群の性質

離散群はその性質からいくつかの重要なポイントがあります。まず、任意の群には離散位相を与えられるため、離散群間の位相的準同型は群準同型になります。これにより、群の圏と離散群の圏の間に同型関係が成立します。さらに、1点だけを確認することで群が離散的であるかを判定できます。具体的には、単位元のみからなるシングルトンが開集合であることと、位相群が離散的であることは同値です。

離散群のユニークな点として、任意の離散群の部分群もまた離散的であることが挙げられます。これは、有限の離散群の直積もまた離散的であることからも確認できます。さらに、離散群が有限であることは、コンパクトであることと同義です。このため、有限のハウスドルフ群は必ず離散的になります。

離散部分群の例

いくつかの具体的な例を考えてみましょう。例えばフリーズ群や文様群は、ユークリッド平面の等長変換群の離散部分群です。文様群は余コンパクトですが、フリーズ群はこの条件を満たしません。また、結晶群は通常、ユークリッド空間の等長変換群の余コンパクト離散部分群とされます。

モジュラー群 $PSL(2, Z)$ は $PSL(2, R)$ の離散部分群として考えることができ、これは $PSL(2, R)$ の格子として機能しますが、余コンパクトではありません。さらに、クライン群も3次元双曲空間の等長変換群における離散部分群です。

まとめ

離散部分群は位相群の中でも特に興味深い性質を持つ部分です。これらは、様々な数学的な理論や応用において重要な役割を果たします。特に、離散群の構造は群論や幾何学的群論、計算群論などの分野で多くの示唆を与えています。この概念を理解することで、より深い数学の世界を探求する手助けとなるでしょう。

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