黄金菱形

黄金菱形とは

黄金菱形（おうごんひしがた、英: Golden rhombus）は、菱形の一種であり、その特徴は長い対角線と短い対角線の長さの比が黄金比（約1.618）に等しいことです。黄金比は自然界や芸術作品によく見られる特別な比率であり、黄金菱形もまた、その美しい比率を持つ図形として、数学や幾何学の分野で重要な役割を果たしています。

黄金菱形の定義

黄金[菱形]]は、長い対角線]と短い[対角線]の比率 D/d が黄金比 φ = (1 + √5)/2 となる[[菱形です。この定義により、黄金菱形は特有の形状と性質を持つことになります。黄金長方形の各辺の中点を結んでできる平行四辺形が黄金菱形となることからも、黄金比との深い関係がわかります。

黄金菱形の性質

角度

黄金菱形の角度は、その対角線によって分割される三角形に着目することで求められます。鋭角の内角θは、およそ63.435度となり、計算式は以下の通りです。

θ = 2 arctan(1/φ) = arctan(2)

また、鈍角の内角はおよそ116.565度となり、これは正十二面体の二面角と等しい値です。

θ = 2 arctan(φ) = π - arctan(2)

長さと面積

黄金菱形の辺の長さをa、短い対角線の長さをdとすると、以下の関係式が成り立ちます。

辺の長さ a ≈ 0.95106d
短い対角線の長さ d ≈ 1.05146a
長い対角線の長さ D ≈ 1.70130a

黄金菱形の面積Sは、短い対角線の長さdを用いると以下の式で表されます。

S = (φ/2) d^2 ≈ 0.80902d^2

また、辺の長さaを用いる場合は以下の式で表されます。

S = (2/√5)a^2 ≈ 0.89443a^2

内接円の半径rは、辺の長さaを用いると以下の式で表されます。

r = a/√5

タイリング

黄金菱形は、ペンローズ・タイルの構成要素として知られる菱形とは異なります。ペンローズ・タイルの菱形は、黄金三角形を組み合わせたもので、内角が36度と144度、あるいは72度と108度です。しかし、黄金菱形は他の菱形と組み合わせることで周期的なタイリングを形成することができます。例えば、黄金菱形と白銀二乗菱形（対角線の比が1:√2）を組み合わせることで周期的なタイリングが可能です。これは、それぞれの菱形の鈍角と鋭角が、特定の組み合わせで360度になる性質を利用しています。

多面体

黄金菱形は、いくつかの多面体の面を構成しています。特に、黄金菱形を面とする凸多面体は5つ（扁長黄金菱形六面体、扁平黄金菱形六面体、菱形十二面体第2種、菱形二十面体、菱形三十面体）しか存在しません。これらの多面体は黄金等稜ゾーン多面体と呼ばれており、これらを用いて非周期的な空間充填が可能です。これらの多面体の二次元投影図は、ペンローズ・タイルに対応します。また、黄金菱形を面とする凹多面体は無数に存在します。菱形十二面体を形成する菱形は白銀菱形であり、黄金菱形ではありません。

黄金菱形と多面体の二面角

興味深いことに、黄金菱形の鈍角は正十二面体の二面角と等しく、黄金二乗菱形の鈍角は正二十面体の二面角と等しいことが知られています。また、白銀菱形の鈍角は正八面体の二面角と等しいです。

まとめ

黄金菱形は、その黄金比に基づく美しい形状と、数学的に興味深い性質を持つ図形です。その角度、長さ、面積の関係式は、幾何学的な探求を深める上で重要な要素となります。また、タイリングや多面体の構成要素としての役割も、この図形が持つ多様な魅力を示しています。

関連項目

黄金比
黄金長方形
黄金三角形
ゾーン多面体

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