クロネッカー・ウェーバーの定理

クロネッカー・ウェーバーの定理

概要

代数的整数論において、円分体は有理数体 (Q) のアーベル拡大であることが知られています。その中でも、クロネッカー・ウェーバーの定理は、この関係性について重要な情報を提供しています。具体的には、有理数体のアーベル拡大体は何らかの円分体に内包される、つまりそれを基にした体の性質について示しています。この定理は、代数的な数を有理数体Qの1の根の組み合わせとして具体的に表現できることを意味しています。

定理の内容

具体例を挙げると、次のような変数の関係があります。$\sqrt{5}$ の場合、次の形で表すことができるのです。

$$
\sqrt{5} = e^{2\pi i / 5} - e^{4\pi i / 5} - e^{6\pi i / 5} + e^{8\pi i / 5}
$$

この定理の名称は、レオポルト・クロネッカーとハインリッヒ・マルチン・ウェーバーの二人からとられています。

体論的な定義

クロネッカー・ウェーバーの定理は、体と体の拡大についての記述が可能です。有理数体 (Q) の有限アーベル拡大は、ある円分体の部分体であるという内容です。言い換えれば、Qのガロア群がアーベル群である代数体は、1のべき根をQに追加した体に含まれるということです。この定理により、与えられたアーベル拡大体Kを含む最小の円分体が存在することが証明されています。さらに、Kの導手nを求めることで、Kが含まれる最小の整数を定義できます。これにより、二次体の導手はそれらの判別式の絶対値であることが明らかとなり、これは類体論へも一般化されています。

歴史と発展

クロネッカー・ウェーバーの定理は、1853年にレオポルト・クロネッカーによって初めて提唱されましたが、当初は完全な形ではなく、特に次数が2のべきの拡大に関しては不十分でした。その後、1886年にハインリッヒ・ウェーバーが証明を発表しましたが、これにもいくつかの問題が含まれていました。1981年には、オラフ・ノイマンによってこれらの不備が指摘され、修正案が提案されました。そして、ヒルベルトが1896年にこの定理を完全に証明したことで、理論が確立されました。

一般化と応用

1965年と1966年には、ルビンとテイトによって局所的な拡張に関する「局所クロネッカー・ウェーバーの定理」の証明がなされ、これは局所体のアーベル拡大が円分拡大とルビン・テイトの拡大を用いて構成可能であることを示しています。さらに、1975年にマイケル・ハゼウィンケル、1981年にマイケル・ローゼン、同年にジョナサン・ルビンによって別の証明も行われました。

ヒルベルトの第12問題は、クロネッカー・ウェーバーの定理が有理数体以外の体に一般化できるか、またその体における1の根の類似物は何かを問う重要な課題を提示しています。

参考文献

クロネッカー・ウェーバーの定理についての詳細な研究や証明は、多くの論文や書籍に収められています。代表的な文献としては、Ghateの2000年の研究、Greenbergによる1974年の簡単な証明、ハゼウィンケルの1975年の論文などが挙げられます。これらの文献は、この定理の発展と証明について深く掘り下げた内容を提供しています。

もう一度検索