ブロカール三角形
幾何学において、ブロカール三角形（Brocard triangles）とは、ある基準となる三角形に対して定義される、様々な種類の特別な三角形の総称です。これらの三角形は、主に元の三角形のブロカール点の配置に関連して定義され、フランスの数学者アンリ・ブロカールにちなんで名づけられました。
基準となる三角形をABCとし、その頂点を時計回りに順にA, B, Cと並んでいると仮定します。この三角形ABCに対して、時計回りの方向で定義されるブロカール点を第一ブロカール点（B1）、反時計回りの方向で定義されるブロカール点を第二ブロカール点（B2）と呼びます。これらの二つのブロカール点を用いて、様々な種類のブロカール三角形が定義されます。
主なブロカール三角形には、以下のようなものがあります。
第一ブロカール三角形：これは最も基本的なブロカール三角形であり、しばしば単に「ブロカール三角形」と呼ばれることもあります。直線AB1とCB2、BB1とAB2、CB1とBB2という3組の直線を考え、それぞれの交点を頂点とする三角形です。この第一ブロカール三角形の外接円は、元の三角形のブロカール円と一致するという重要な性質を持っています。
第二ブロカール三角形：第一ブロカール三角形とは異なる構成で定義されます。三角形ABCにおいて、円ABB2と円ACB1は点A以外のもう一つの交点を持ちます。この交点をA'とします。同様に、点Bに対応する交点をB'、点Cに対応する交点をC'と定義します。これらの点A', B', C'を頂点とする三角形が第二ブロカール三角形です。この三角形は、元の三角形と類似重心を中心として配景的な関係にあり、また、その頂点はブロカール円上に位置します。
第三ブロカール三角形：第一ブロカール三角形の各頂点に対し、元の三角形に関する等角共役点を求め、これらの3点を頂点とする三角形です。この三角形の各頂点は、元の三角形の重心と、対応する頂点に対するアポロニウスの円の中心を結ぶ直線上にあるという性質があります。
第四ブロカール三角形：第二ブロカール三角形の頂点の等角共役点から定義される三角形です。「D三角形（D-triangle）」とも呼ばれます。また別の定義として、元の三角形の重心と垂心を直径とする円（垂重円）と、各中線が重心ではない方の点で交わる点を頂点とする三角形と見なすこともできます。
第五ブロカール三角形：第一ブロカール点と第二ブロカール点の擬調和三角形（pseudoharmonic triangle）の頂点三角形（Vertex triangle）として定義されます。元の三角形と第五ブロカール三角形は配景的な関係にあり、その配景の中心は第三ブロカール点の等角共役点に位置します。
第六ブロカール三角形：元の三角形の外心を中心とし、ブロカール点B1, B2を通る円を第二ブロカール円（Second Brocard circle）と呼びます。直線AB1と第二ブロカール円とのB1以外の交点をP1とし、直線AB2と第二ブロカール円とのB2以外の交点をP2とします。この2点P1, P2を通る直線をLaと定義します。同様に、点B, Cに関連してLb, Lcを定義します。これらの直線La, Lb, Lcが囲む三角形が第六ブロカール三角形です。
第七ブロカール三角形：元の三角形の外心をOとします。ブロカール円と、Oと各頂点A, B, Cを結ぶ直線AO, BO, COとの、O以外の交点をそれぞれA'', B'', C''とします。これらの点A'', B'', C''を頂点とする三角形が第七ブロカール三角形です。この三角形の頂点もまたブロカール円上に位置します。
第八ブロカール三角形：第七ブロカール三角形の各頂点を、元の三角形の外接円に関して反転させた点によって定義されます。これら3点は、三角形を形成せず、常に同一の直線上に並びます（共線）。この特別な直線は、元の三角形のルモワーヌ軸として知られています。
第九ブロカール三角形：第八ブロカール三角形を構成する3点の等角共役点によって定義される三角形です。この三角形の頂点は、元の三角形のシュタイナー楕円上に位置します。
第十ブロカール三角形：第七ブロカール三角形の各頂点について、ブロカール円に対する対蹠点を求め、これらの3点を頂点とする三角形が第十ブロカール三角形です。第七ブロカール三角形と同様に、その頂点はブロカール円上にあります。
* 第十一ブロカール三角形：元の三角形の頂点A, B, Cの外接円に対する対蹠点に関連して定義される特定の三次曲線（Orthopivotal cubic）、特にノイベルグ三次曲線の一つとして知られる曲線の特異焦点（虚円点における接線の交点）を頂点とする三角形です。この三角形の頂点もブロカール円上に位置します。
これらの他にも、元の三角形が特定のブロカール三角形となるような別の三角形をAnti-Brocard triangleと呼んだり、任意の点Pと外心を直径とする円と各辺の垂直二等分線の、外心でない方の交点を頂点とする三角形をP-ブロカール三角形（P-Brocard triangle）と呼んだりすることもあります。
ブロカール三角形は、ブロカール点やシュタイナー点、タリー点といった、三角形の中心や特異点に関連する現代幾何学の研究分野において重要な研究対象となっています。
基準となる三角形をABCとし、その頂点を時計回りに順にA, B, Cと並んでいると仮定します。この三角形ABCに対して、時計回りの方向で定義されるブロカール点を第一ブロカール点（B1）、反時計回りの方向で定義されるブロカール点を第二ブロカール点（B2）と呼びます。これらの二つのブロカール点を用いて、様々な種類のブロカール三角形が定義されます。
主なブロカール三角形には、以下のようなものがあります。
第一ブロカール三角形：これは最も基本的なブロカール三角形であり、しばしば単に「ブロカール三角形」と呼ばれることもあります。直線AB1とCB2、BB1とAB2、CB1とBB2という3組の直線を考え、それぞれの交点を頂点とする三角形です。この第一ブロカール三角形の外接円は、元の三角形のブロカール円と一致するという重要な性質を持っています。
第二ブロカール三角形：第一ブロカール三角形とは異なる構成で定義されます。三角形ABCにおいて、円ABB2と円ACB1は点A以外のもう一つの交点を持ちます。この交点をA'とします。同様に、点Bに対応する交点をB'、点Cに対応する交点をC'と定義します。これらの点A', B', C'を頂点とする三角形が第二ブロカール三角形です。この三角形は、元の三角形と類似重心を中心として配景的な関係にあり、また、その頂点はブロカール円上に位置します。
第三ブロカール三角形：第一ブロカール三角形の各頂点に対し、元の三角形に関する等角共役点を求め、これらの3点を頂点とする三角形です。この三角形の各頂点は、元の三角形の重心と、対応する頂点に対するアポロニウスの円の中心を結ぶ直線上にあるという性質があります。
第四ブロカール三角形：第二ブロカール三角形の頂点の等角共役点から定義される三角形です。「D三角形（D-triangle）」とも呼ばれます。また別の定義として、元の三角形の重心と垂心を直径とする円（垂重円）と、各中線が重心ではない方の点で交わる点を頂点とする三角形と見なすこともできます。
第五ブロカール三角形：第一ブロカール点と第二ブロカール点の擬調和三角形（pseudoharmonic triangle）の頂点三角形（Vertex triangle）として定義されます。元の三角形と第五ブロカール三角形は配景的な関係にあり、その配景の中心は第三ブロカール点の等角共役点に位置します。
第六ブロカール三角形：元の三角形の外心を中心とし、ブロカール点B1, B2を通る円を第二ブロカール円（Second Brocard circle）と呼びます。直線AB1と第二ブロカール円とのB1以外の交点をP1とし、直線AB2と第二ブロカール円とのB2以外の交点をP2とします。この2点P1, P2を通る直線をLaと定義します。同様に、点B, Cに関連してLb, Lcを定義します。これらの直線La, Lb, Lcが囲む三角形が第六ブロカール三角形です。
第七ブロカール三角形：元の三角形の外心をOとします。ブロカール円と、Oと各頂点A, B, Cを結ぶ直線AO, BO, COとの、O以外の交点をそれぞれA'', B'', C''とします。これらの点A'', B'', C''を頂点とする三角形が第七ブロカール三角形です。この三角形の頂点もまたブロカール円上に位置します。
第八ブロカール三角形：第七ブロカール三角形の各頂点を、元の三角形の外接円に関して反転させた点によって定義されます。これら3点は、三角形を形成せず、常に同一の直線上に並びます（共線）。この特別な直線は、元の三角形のルモワーヌ軸として知られています。
第九ブロカール三角形：第八ブロカール三角形を構成する3点の等角共役点によって定義される三角形です。この三角形の頂点は、元の三角形のシュタイナー楕円上に位置します。
第十ブロカール三角形：第七ブロカール三角形の各頂点について、ブロカール円に対する対蹠点を求め、これらの3点を頂点とする三角形が第十ブロカール三角形です。第七ブロカール三角形と同様に、その頂点はブロカール円上にあります。
* 第十一ブロカール三角形：元の三角形の頂点A, B, Cの外接円に対する対蹠点に関連して定義される特定の三次曲線（Orthopivotal cubic）、特にノイベルグ三次曲線の一つとして知られる曲線の特異焦点（虚円点における接線の交点）を頂点とする三角形です。この三角形の頂点もブロカール円上に位置します。
これらの他にも、元の三角形が特定のブロカール三角形となるような別の三角形をAnti-Brocard triangleと呼んだり、任意の点Pと外心を直径とする円と各辺の垂直二等分線の、外心でない方の交点を頂点とする三角形をP-ブロカール三角形（P-Brocard triangle）と呼んだりすることもあります。
ブロカール三角形は、ブロカール点やシュタイナー点、タリー点といった、三角形の中心や特異点に関連する現代幾何学の研究分野において重要な研究対象となっています。
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