プリューファー群

プリューファー p 群について

プリューファー p 群（Prüfer p-group）、または p 準巡回群（p-quasi-cyclic group）および Z(p∞) は、すべての元が p 個の異なる p 乗根を持つという特性を持ったユニークな無限の p-群です。この群は、数学者ハインツ・プリューファーにちなんで名付けられました。この数学構造は、無限アーベル群の分類に重要な役割を果たします。

Z(p∞) の構成

プリューファー p 群は、円周群 U(1) の部分群としても理解できます。具体的には、全ての非負整数 n に対して 1 の p^n 乗根から構成される部分群です。式で表すと、次のようになります:

$$
Z(p^{ ext{∞}}) = igg\{ ext{exp}igg( rac{2 ext{π} i m}{p^n} igg) igg| m ext{は} ext{Z}^+, n ext{は} ext{Z}^+ igg\}.
$$

ここで、演算は複素数の乗法です。あるいは、プリューファー p 群は商群 $Q/Z$ の p の冪で構成される元を持つシロー p 部分群としても扱えます。これにより、次のように書くことが可能です:

$$
Z(p^{ ext{∞}}) = rac{ ext{Z}[1/p]}{ ext{Z}}.
$$

ここで、Z[1/p] は分母が p の冪である有理数全体の群を意味し、群演算は通常の加法に基づいています。

さらに、プリューファー p 群は次のように表現できます:

$$
Z(p^{ ext{∞}}) = rac{ ext{Q}_p}{ ext{Z}_p}.
$$
この式は、p 進数の加法群と、その p 進整数からなる部分群との関係を示しています。

プリューファー p 群の性質

この群は、すべての素数 p に対して、部分群が包含によって全順序付けされる唯一の無限群です。具体的には、次のように部分群が連続的に増加します:

$$
0
eq rac{(1/p) ext{Z}}{ ext{Z}}
eq rac{(1/p^2) ext{Z}}{ ext{Z}}
eq rac{(1/p^3) ext{Z}}{ ext{Z}}
eq ext{Z}(p^{ ext{∞}}).
$$

この連続性から、プリューファー p 群は有限部分群の直極限としても表現できます。特徴的な点として、プリューファー p 群には極大部分群が存在せず、したがって自らがフラッティーニ部分群となります。このことから、群が真の部分群の直和として分解できないことが示され、subdirectly irreducible の性質があることが明らかになります。

さらに、プリューファー p 群は局所巡回的です。これは、任意の有限元集合が巡回群を生成することを意味します。この性質を満たす無限アーベル群はプリューファー p 群だけであると言えます。

この群の特徴

また、プリューファー p 群は可除群であり、可除群の分類においても重要な役割を果たします。具体的には、有理数 Q とプリューファー群 Z(p∞) は、共に最も基本的な可除群と見なされます。また、アーベル群が可除であることと Q および Z(p∞) のコピーの直和として表現できることは同値です。

加えて、Z(p∞) はアルティン加群として知られますが、ネーター加群ではありません。この点は、すべてのアルティン加群がネーター加群であるという性質に対する反例を提供します。

自己準同型環については、Z(p∞) は p 進整数の環 Zp に同型であることが知られています。また、局所コンパクト位相群の理論においては、プリューファー p 群（離散位相が適用された場合）は p 進整数のコンパクト群のポントリャーギン双対であり、逆に p 進整数の群はプリューファー p 群のポントリャーギン双対であることが示されています。

参考文献

• - Fuchs, László (1970). Infinite abelian groups.
• - Jacobson, Nathan (1980). Basic algebra.
• - Grillet, Pierre Antoine (2007). Abstract algebra.
• - Kaplansky, Irving (1965). Infinite Abelian Groups.

このように、プリューファー p 群は群論の中でも特有の位置を占めており、その特性や構造はアーベル群の理解に重要な影響を与えています。

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