作用素 (関数解析学)

数学における作用素：概念と応用

数学において、作用素は写像や関数の概念を一般化したものです。特に関数解析学では、ヒルベルト空間やバナッハ空間上の線形変換を作用素と呼びます。関数空間、すなわち関数の集合からなる無限次元線形空間は典型的な例であり、量子力学などでは「演算子」と呼ばれます。この文脈では、作用素は関数を別の関数に変換する写像として理解できます。ベクトル空間の係数体に値をとる作用素は汎関数と呼ばれます。

作用素の定義

UとVを同じ係数体Kを持つ線形空間とします。このとき、Uの部分集合D（定義域）上で定義され、Vへの写像TをD上の作用素と呼びます。Tの値域Rは{Tx | x∈D}で表され、それぞれD(T) = D, R(T) = Rと表記します。

作用素Tが定義域D(T)上で単射であれば、逆写像T⁻¹はR(T)上の作用素となり、逆作用素と呼ばれます。2つの作用素SとTが定義域が等しく、定義域上で写像として等しい場合、S = Tと表します。

作用素のスカラー倍、和、積は以下のように定義されます。

スカラー倍：(αT)x := α(Tx) (x∈D(αT):=D(T))
和：(S+T)x := Sx + Tx (x∈D(S+T):=D(S)∩D(T))
* 積：(ST)x := S(Tx) (x∈D(ST):={y∈D(T)|Ty∈D(S)})

作用素の種類と性質

汎関数

汎関数はベクトル空間からその係数体への作用素です。超関数論や変分法で重要な役割を果たし、理論物理学においても広く応用されています。

線形作用素

最も一般的な作用素の種類は線形作用素です。体K上の線形空間U,Vに対し、作用素T:U→Vが線形であるとは、定義域D(T)がUの線形部分空間であり、任意のx,y∈D(T)とα,β∈Kに対してT(αx+βy) = αTx + βTyが成り立つことをいいます。線形作用素はベクトル空間の間の射となります。

有限次元の場合、線形作用素は行列で表現できます。UとVの基底をそれぞれu₁, …, uₙ∈Uとv₁, …, vₘ∈Vとすると、任意のx = xⁱuᵢ∈Uに対してTx = xⁱTuᵢ = xⁱ(Tuᵢ)ʲvⱼとなり、aⱼⁱ := (Tuᵢ)ʲ∈Kによって作用素Tの行列表現が得られます。この行列と線形作用素U→Vの間には一対一対応があります。有限次元線形作用素では、階数、行列式、逆作用素、固有空間などの概念が重要です。

無限次元の場合、階数や行列式の概念を直接拡張することはできません。無限次元線形作用素の研究は関数解析学の重要な対象であり、様々な関数のクラスが無限次元ベクトル空間の例となります。実数列や複素数列全体の空間、そしてその部分空間である数列空間とその上の作用素（列変換）は重要な研究対象です。

有界作用素と作用素ノルム

ノルムを持つベクトル空間U,Vにおいて、線形作用素T:U→Vが有界であるとは、ある定数C>0が存在して、任意のx∈D(T)に対して||Tx||ᵥ ≤ C||x||ᵤが成り立つことをいいます。これは線形作用素が連続であることと同値です。全空間で定義された有界線形作用素の全体はベクトル空間を成し、作用素ノルムと呼ばれるノルムを定義できます。||T|| = inf{C>0: ||Tx||ᵥ ≤ C||x||ᵤ}。U=Vの場合、||ST|| ≤ ||S||・||T||が成り立ち、この性質を持つノルム代数はバナッハ代数と呼ばれます。バナッハ代数の理論はスペクトル論の一般化に繋がります。バナッハ空間上の有界線形作用素の全体は、標準作用素ノルムに関してバナッハ代数を成します。

作用素の例

幾何学

幾何学では、ベクトル空間に追加の構造を持つ空間とその空間からそれ自身への全単射な写像（作用素）が研究されます。例えば、ベクトル空間の構造を保つ全単射な作用素は可逆線形作用素であり、その全体は一般線型群を成します。ユークリッド距離を保つ作用素の全体は等距変換群を成し、原点を保つものは直交群と呼ばれます。

確率論

確率論では、期待値、分散、共分散、モーメントなどを取る操作は作用素の例です。

初等解析学

関数解析の観点から、微分積分学は微分d/dtと積分∫₀ᵗという二つの作用素の研究です。フーリエ変換は積分作用素であり、時間領域の関数を周波数領域の関数に変換する可逆変換として広く用いられます。フーリエ級数展開やラプラス変換も重要な積分作用素の例です。

ベクトル解析

ベクトル解析では、勾配(grad, ∇)、発散(div, ∇・)、回転(curl, rot, ∇×)といった作用素が用いられます。これらは物理学や工学においても重要な役割を果たします。

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