半環

抽象代数学において、半環（はんかん、英: semiring）とは、環に類似した重要な代数的構造です。最も大きな違いは、環の公理系から「加法に関する逆元（負元）」の存在を除外している点にあります。この性質から、「負元を持たない環」（ring without negative）という意味合いで rig という用語も頻繁に用いられます。

半環 R は、加法 '+' と乗法 '·' という二つの二項演算を備えた集合であり、以下の条件を満たします。

1. 加法に関する構造: 集合 R は、加法 '+' について、単位元 0 を持つ可換モノイドを構成します。これは、結合法則、交換法則、そして 0 との演算で元が変わらないという性質を満たすことを意味します。
結合法則: (a + b) + c = a + (b + c)
交換法則: a + b = b + a
単位元: 0 + a = a + 0 = a

2. 乗法に関する構造: 集合 R は、乗法 '·' について、単位元 1 を持つモノイドを構成します。これは、結合法則を満たし、特別な元 1 が単位元として機能することを意味します。環とは異なり、乗法は必ずしも可換である必要はありません。
結合法則: (a · b) · c = a · (b · c)
単位元: 1 · a = a · 1 = a

3. 分配法則: 乗法は加法に対して分配的である必要があります。これは、二つの演算が互いに関連付けられる基本的なルールです。
左分配法則: a · (b + c) = (a · b) + (a · c)
右分配法則: (a + b) · c = (a · c) + (b · c)

4. 零元の性質: 加法の単位元 0 は、乗法に対しても特別な性質を持ちます。どの元に 0 を乗じても結果は 0 になる、いわゆる吸収元であるということです。
0 · a = a · 0 = 0

この最後の公理は、環の場合には他の公理から自動的に導かれますが、一般の半環ではそうとは限らないため、定義に含めるのが一般的です。

環と半環の最も決定的な違いは、加法に関する逆元の存在です。環では全ての元が加法逆元を持つため加法群をなしますが、半環では可換モノイドで十分とされます。

半環にはいくつかの重要な種類があります。乗法が可換である半環を可換半環と呼びます。また、加法が冪等である、つまり任意の元 a に対して a + a = a が成り立つ半環を冪等半環（または dioid）と呼びます。冪等半環の加法は、特定の意味での「結び演算」と見なすことができます。

半環の典型的な例としては、非負整数全体の集合 N（0を含む）に通常の加法と乗法を考えた「自然数半環」があります。非負有理数や非負実数も同様の構造を持ちます。これらは可換半環です。他にも、成分が非負の行列全体、二元ブール代数 B、自然数係数の多項式環 N[x] なども半環となります。

特に注目される例に熱帯半環があります。これは、実数に無限大を加えた集合において、加法を最大値（max）、乗法を通常の加法（+）と定義した構造（例えば R ∪ {-∞} で max(a, b) と a+b）や、加法を最小値（min）、乗法を通常の加法とした構造（例えば R ∪ {∞} で min(a, b) と a+b）です。これらは可換な冪等半環となります。

半環の概念は、理論計算機科学や最適化問題など、応用数学の様々な分野で重要な役割を果たしています。例えば、離散事象系の解析、最短経路問題に対するフロイド-ワ―シャルアルゴリズム、隠れマルコフモデルにおけるビタビアルゴリズムなどは、適切な半環上での計算として定式化され、その効率性は半環の分配法則に深く依拠しています。

なお、測度論で使われる「集合半環」は、ここで説明した代数的構造としての半環とは異なる概念であるため、混同しないよう注意が必要です。

半環論は環論と並行して研究されており、多くの概念や定理が半環に拡張されています。一部の視点では、環は特定の半環（例えば整数環 Z）上の構造として捉えられ、半環の方がより基礎的な代数的枠組みであると見なされることもあります。加法が冪等な半環は、半環論の中でも特に重要なクラスであり、特定の順序構造とも密接に関連しています。

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