核 (圏論)

核 (Kernel)

概要

圏論およびホモロジー代数における「核」は、様々な数学的構造における「核」の概念、例えば群準同型の核や加群準同型の核などを、より抽象的な枠組みで捉え直したものです。圏における射 `f: X → Y` に対して、その核は直観的には、「`f` と合成すると零射となるような射の中で、最も普遍的な（最も一般的な）射 `k: K → X`」として理解することができます。この概念は、射が「どれだけ単射からかけ離れているか」を測る指標の一つとなります。

定義

核の概念は、少なくとも零射を持つ圏、あるいはより一般的には零対象を持つ圏において定式化されます。圏 `C` における射 `f: X → Y` の核とは、対象 `K` と `K` から `X` への射 `k: K → X` の組 `` であって、以下の二つの条件を満たすものです。

1. `f` と `k` の合成 `f ∘ k` が、`K` から `Y` への零射であること。
2. 任意の対象 `K'` および任意の射 `k': K' → X` であって、合成 `f ∘ k'` が `K'` から `Y` への零射となるものが与えられたとき、射 `k'` を分解するような、`K'` から `K` への一意的な射 `u: K' → K` が存在すること。すなわち、`k ∘ u = k'` が成り立つこと。

この定義における射 `k` は、常に圏論的な意味での単射であることが示されます。核は任意の射に対して存在するとは限りませんが、もし存在するならば、それは同型射を除いて一意的に定まります。つまり、もし `` と `` がどちらも `f` の核であるならば、`K` から `L` への一意的な同型射 `φ` が存在し、`l ∘ φ = k` という関係が成り立ちます。

しばしば、具体的な数学的文脈では、対象 `K` そのものを「核」と呼ぶことがあります。これは、多くの場合 `K` が `X` の特定の部分構造として捉えられ、射 `k` がその包含写像として自然に定まるためです。しかし、より抽象的な圏においては、対象 `K` が `X` の部分対象として具体的にどう解釈されるかを記述する上で、射 `k` の存在と性質が不可欠となります。したがって、核は対象 `K` だけでなく、ペア `` として捉えるのがより厳密です。

等化子による定義

圏 `C` の射 `f: X → Y` の核は、別の圏論的な構成要素である等化子（イコライザ）を用いて定義することもできます。具体的には、`f` の核は、射 `f` と、`X` から `Y` への零射 `0XY` の等化子として定義されます。記号で表すと、`ker(f) = eq(f, 0XY)` となります。

具体例

核の概念は、抽象代数学における多くの重要な圏で自然に現れます。例えば、群の圏や、固定された環上の（左）加群の圏（これには固定された体上のベクトル空間の圏も含まれます）などです。これらの圏において、準同型 `f: X → Y` が与えられたとき、その通常の代数的な意味での核（すなわち、`X` の部分代数系であり、`Y` の単位元に移される `X` の要素全体の集合）を `K` とすると、`K` から `X` への包含準同型こそが、圏論的な意味での `f` の核となります。

一方で、すべての圏でこの定義がうまく機能するわけではありません。例えば、モノイドの圏においては、圏論的な意味での核は群の場合と同様に定義できますが、これらの核は代数的な目的には必ずしも十分な情報を提供しないことが知られています。そのため、モノイド論で研究される「核」は、圏論的な定義とはわずかに異なる概念であることが多いです。

環の圏 Ring は、零射すら持たないため、圏論的な意味での核は存在しません。しかし、零射を持つ擬環の圏 Rng においては核が定義でき、環論で研究される「核」に対応する概念が存在します。

基点付き位相空間の圏においては、基点付き連続写像 `f: X → Y` が与えられたとき、`Y` の基点の原像 `K` は `X` の部分空間となります。この部分空間 `K` から `X` への包含写像が、`f` の圏論的な核を与えます。

他の圏論的概念との関係

核は圏論における他の多くの重要な概念と密接に関連しています。

まず、核の双対概念は余核 (cokernel) です。圏 `C` における射の核は、その逆圏 `C^op` におけるその射の余核であり、逆に `C^op` における射の核は `C` におけるその射の余核です。

上で述べたように、核は等化子、より正確には二項等化子の一種です。特に、前加法圏（射の間に加法が定義され、分配法則などが成り立つ圏）においては、任意の二項等化子を核として構成することができます。具体的に、射 `f` と `g` の等化子は、その差 `g - f` の核に等しくなります。記号で書けば、`eq(f, g) = ker(g - f)` です。この事実は、射の「差」が直接定義できないような前加法でない圏においてさえ、等化子が「差核 (difference kernel)」と呼ばれる理由の一つとなっています。

核である射 `k: K → X` は常に単射です。逆に、単射が正規 (normal) または正則 (regular) であるとは、それが何らかの射の核であること定義されます。すべての単射が正規であるような圏を正規圏 (normal category) と呼びます。

アーベル圏は、すべての単射が正規であり、すべての射が核と余核を持つなど、非常に良い性質を持つ圏であり、常に正規圏となります。アーベル圏においては、任意の射 `f` の像 `im f` は、その余核 `coker f` の核に等しいことが知られています。すなわち、`im f = ker(coker f)` です。また、単射 `m` が正規であるということは、それが自身の余核の核に等しい、つまり `m = ker(coker m)` と表現できることと同義です。

代数的核との比較

普遍代数学の文脈では、同じ種類の二つの代数的構造間の準同型に対して「核」の概念が定義されます。これは、その準同型が単射からどれだけ「離れているか」を測るものです。この代数的な核の概念は、群や加群の核という具体的な例において、上で述べた圏論的な核と一致します。

しかし、一般の代数的構造においては、普遍代数学的な核の概念は、圏論における「核対 (kernel pair)」と呼ばれる構成により近い対応を持ちます。核対は、与えられた射 `f: X → Y` に対して、`X` から `X` への射のペア `` であって、`f ∘ p1 = f ∘ p2` となる中で最も普遍的なものを指します。モノイドや環の圏論的な核は定義できましたが、これらの代数系の構造を完全に捉えるためには、多くの場合、圏論的な核対の概念を用いる方が適切であるとされています。

もう一度検索