核型空間

核型空間 (かくけいくうかん)

核型空間は、数学における位相ベクトル空間の一種であり、有限次元ベクトル空間が有する多くの優れた特性を無限次元の場合にも引き継いでいる空間です。その構造は、空間上の半ノルムと呼ばれる「大きさ」を測る関数の一族によって定められる位相によって特徴づけられます。特に、この半ノルムが定義する「単位球」が急速に小さくなるような性質を持つ点が重要です。

核型空間の例としては、しばしば「滑らかさ」を持つ関数の空間が登場します。例えば、コンパクトな多様体上で定義された滑らかな関数の全体が核型空間となることが知られています。

有限次元のベクトル空間は、その上のすべての線形作用素が核作用素であるという意味で、常に核型空間となります。しかし、無限次元の空間においては、バナッハ空間のような「完備な」空間が核型になることは、実は有限次元の場合を除いてありません。逆に、自然に現れる位相ベクトル空間がバナッハ空間ではない場合、それが核型空間である可能性が高いという側面もあります。

核型空間の理論は、主にフランスの数学者アレクサンドル・グロタンディークによって1955年頃に体系的に発展させられました。

定義

核型空間にはいくつかの同値な定義が存在します。ここでは、その代表的なものをいくつか紹介します。なお、文脈によっては、さらに「フレシェ空間」（半ノルムの可算族によって位相が定まり完備であること）であることを条件に含める場合もあります。

局所凸位相ベクトル空間Vの位相は、半ノルムの族によって定義されます。任意の半ノルムpに対して、その「単位球」はゼロの対称かつ閉じた凸近傍となります。逆に、ゼロの対称かつ閉じた凸近傍は、ある半ノルムの単位球として表現できます。

半ノルムpを用いてVを完備化したバナッハ空間をVpと記すとき、VからVpへの自然な写像が存在します（これは必ずしも単射ではありません）。さらに、別の半ノルムqがpよりも強い（大きい）場合、VqからVpへの自然な写像も存在し、これは常に連続です。

核型空間は、このVqからVpへの自然な写像が「核作用素」と呼ばれるより強い性質を持つ場合に定義されます。核作用素の厳密な定義は専門的ですが、直感的には、この条件は、任意のゼロの近傍の内部に、ある意味で「より小さい」近傍が存在することを意味します。

定義1: 核型空間とは、局所凸位相ベクトル空間であって、任意の半ノルムpに対し、それよりも強い半ノルムqで、VqからVpへの自然な写像が核作用素となるものが存在するものをいいます。

抽象的な核作用素の代わりに、より具体的に理解しやすいヒルベルト空間上の「トレースクラス作用素」を用いて定義することも可能です。

定義2: 位相がヒルベルト半ノルム族で定義される位相ベクトル空間が核型であるとは、任意のヒルベルト半ノルムpに対し、より強いヒルベルト半ノルムqで、VqからVpへの自然な写像がトレースクラス作用素となるものが存在することをいいます。

トレースクラス作用素の代わりにヒルベルト・シュミット作用素を用いることもでき、これもまた核型空間を定義します。

定義3: 位相がヒルベルト半ノルム族で定義される位相ベクトル空間が核型であるとは、任意のヒルベルト半ノルムpに対し、より強いヒルベルト半ノルムqで、VqからVpへの自然な写像がヒルベルト・シュミット型作用素となるものが存在することをいいます。

より簡潔な定義も存在します。

定義4: 核型空間とは、局所凸位相ベクトル空間であって、任意の半ノルムpに対し、VからVpへの自然な写像が核作用素となるものです。

定義5: 核型空間とは、局所凸位相ベクトル空間であって、任意のバナッハ空間への連続線形写像が核作用素となるものです。

グロタンディークが採用した定義は、テンソル積という概念を用いたものです。

定義6: 核型空間Aとは、任意の局所凸位相ベクトル空間Bに対して、AとBの射影的テンソル積から単射的テンソル積への自然な写像が同型写像となるものです。この性質は、核型空間におけるテンソル積の定義が一意に定まることを示唆しています。

例

無限次元の核型空間の典型例として、以下のような空間が挙げられます。

急減少数列の空間: 各成分が急速にゼロに近づくような実数列や複素数列の空間。
コンパクト多様体上の滑らかな関数の空間。
ユークリッド空間上の急減少関数（シュワルツ空間）。これは数理物理学などで重要な役割を果たします。
複素平面上の整関数（すべての点で解析的な関数）の空間。

また、核型空間は、以下のような操作に対して閉じている性質も持ちます。

核型空間の列の帰納極限。
核型空間の族の直積。
核型空間の完備化。
核型空間の任意の部分空間および閉部分空間による商空間。
二つの核型空間の位相テンソル積。
核型フレシェ空間の強双対空間（双対空間に特別な位相を入れたもの）。

性質

核型空間は、多くの点で有限次元空間と類似した「良い性質」を持つことが知られています。

局所凸ハウスドルフ位相ベクトル空間が核型であることと、その完備化が核型であることは同値です。
フレシェ空間が核型であることと、その強双対が核型であることは同値です。
核型空間の任意の有界な部分集合は、完備化空間において閉包を取るとコンパクトになります（前コンパクト性）。
特に、核型フレシェ空間の有界閉集合はコンパクトになります。これは有限次元空間におけるハイネ・ボレルの定理の類似であり、核型空間の重要な性質の一つです。
すべての核型空間はシュワルツ空間です。
すべての核型空間は近似性質を持ちます。
すべての核型空間は、ヒルベルト空間の直積の部分空間として実現できます。
定義の項でも触れたように、核型空間Aと任意の局所凸空間Bのテンソル積において、射影的テンソル積と単射的テンソル積が自然な写像の下で同型になります。

ボホナー・ミンロスの定理

確率測度論において、核型空間は重要な役割を果たします。特に、核型フレシェ空間の双対空間上の測度に関するボホナー・ミンロスの定理は基本的な結果です。

この定理は、核型空間A上の特定の条件を満たす連続汎関数（特性汎関数と呼ばれる）が与えられたとき、Aの双対空間A'上に一意的な確率測度μが存在し、その特性汎関数が双対空間上の積分（フーリエ変換の類推）として表現できることを保証します。

$$C(y) = \int_{A'} e^{i\langle x, y\rangle} d\mu(x)$$

この定理により、核型空間上で定義された特性関数から、双対空間上の確率測度を構成することが可能になります。特に、ある特定の形式の特性関数（ガウス関数に対応するもの）からは、双対空間上にガウス測度、すなわち「ホワイトノイズ測度」と呼ばれる確率測度を構成できることが保証されます。核型空間としてのシュワルツ空間を用いると、対応する確率要素は確率超過程となります。

関連事項

核型空間よりも強い条件を満たす「強核型空間」という概念も存在します。

関連する数学的概念には、フレドホルム核、核作用素、トレースクラス作用素、ゲルファントの三つ組などがあります。

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