穿孔多面体

穿孔多面体：ドーナツ型の幾何学的立体

初等幾何学において、穿孔多面体とは、位相的にトーラス（ドーナツ型）の形状を持つ多面体です。通常の多面体が球面を充填するように多角形が配置されるのに対し、穿孔多面体はトーラス、あるいは複数の穴を持つ多孔トーラスを構成します。そのため、貫通した穴が特徴的な形状となります。

穿孔多面体の定義

穿孔多面体は、辺や頂点のみで交わる多角形によって構成され、それらが一体となって多様体を形成します。具体的には、各辺は必ず2つの多角形に共有され、各頂点の周りの多角形は閉路を形成します。重要な点は、穿孔多面体は向き付け可能な曲面であるということです。文献によっては、特に種数1のトーラスと同値な多面体を指して「toroidal polyhedra」と呼ぶ場合もあります。

幾何学的実現の観点から、穿孔多面体は大きく3種類に分類できます。

1. 埋め込み穿孔多面体: 3次元ユークリッド空間において、面となる多角形が互いに交差することなく配置されている多面体です。
2. はめ込み穿孔多面体: 多角形が互いに交差することを許容する、ユークリッド空間における多面体です。星型多角形も含まれます。
3. 抽象多面体: 特定の幾何学的実現を持たず、位相的な曲面として定義された多面体です。

これらの区別は重要です。いずれの場合も、多面体がトーラス状であるかどうかは、向き付け可能性とオイラー標数（非正）によって確認できます。

代表的な穿孔多面体

最も単純な埋め込み穿孔多面体として、チャーサールの多面体とシラッシの多面体が挙げられます。

チャーサールの多面体: 7つの頂点、21本の辺、14個の三角形面を持つ穿孔多面体です。任意の2頂点を結ぶ線分が必ず多面体の辺となるという特殊な性質を持ちます。
シラッシの多面体: チャーサールの多面体の双対多面体で、7つの六角形面を持ち、どの2つの面も隣接しています。これは、トーラス上の地図を彩色する際に必要な色の最大数が7色であるという定理の証明において重要な役割を果たします。

チャーサールの多面体は、埋め込み穿孔多面体の中で最小の頂点数、シラッシの多面体は最小の面数を持つことが知られています。

スチュワートのトーラス形

正多角形面で構成され、自己交叉を持たず、隣り合う面が同一平面上にはないという条件を満たす穿孔多面体の特別なクラスを、スチュワートのトーラス形と呼びます。これは、凸多面体におけるジョンソンの立体に相当しますが、無限個存在するという違いがあります。その中には、すべての面が正三角形であるトーラスデルタ多面体も含まれます。

スチュワートはさらに、準凸穿孔多面体というクラスも定義しています。これは、多面体の凸包の辺がすべてもとの多面体の辺であるようなスチュワートのトーラス形です。

はめ込まれた多面体

空間において交叉する多角形によって構成される多面体は、はめ込まれた多面体と呼ばれます。種数1の八面半八面体、種数3の小立方立方八面体、種数4の大十二面体などがその例です。

王冠型多面体

王冠型多面体（crown polyhedron）あるいはステファン多面体 (stephanoid) は、同角かつ同面である穿孔多面体です。自己交叉を持ち、位相的に自己双対であるという特徴があります。

穿孔多面体は、その複雑な幾何学的構造と位相的性質から、数学、特に幾何学やグラフ理論において盛んに研究されています。その特異な形状は、様々な分野での応用も期待されています。

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