行列力学

行列力学

行列力学（ぎょうれつりきがく）は量子力学の主要な形式の一つで、1925年に物理学者ヴェルナー・ハイゼンベルクによって提唱されました。この理論では、量子論をハイゼンベルク描像に基づいて行列で表現します。行列力学は、マトリックス力学とも呼ばれ、後にマックス・ボルンやパスクアル・ヨルダンといった他の物理学者によっても発展されました。

従来の量子理論は、ニールス・ボーアやアルノルト・ゾンマーフェルトの量子条件、さらにアルベルト・アインシュタインの光量子論などによって一定の成果を上げていましたが、量子力学的な現象を体系的に記述するための枠組みは欠けていました。ハイゼンベルクは、古典的な物理学の枠組みを捨て、新しい理論の定式化に取り組み、運動量や位置などの物理量を行列として表現することで、自然を記述する方法を提供しました。

行列力学の特長の一つは、物理量が非可換であることを示した点です。これは、位置と運動量が同時に確定した値を持たないことを示すもので、量子力学における不確定性原理の基礎ともなっています。このような考え方は、古典力学においては決定論的な値を持つ物理量とは対照的です。

さらに、行列力学は波動力学とも知られるシュレーディンガー方程式によって記述される理論と対立していましたが、エルヴィン・シュレーディンガーによってこの二つの理論が等価であることが証明されました。こうして、行列力学と波動力学は、量子力学の二つの基礎的な理論として共存することになりました。

理論体系

行列力学の基本的な理論は次のようにまとめられます。

行列としての力学量

本理論では、ある力学量Aは無限次元の行列として表現され、その各要素は時間依存性を持つ振動形状で表されます。具体的には、次のようになります：

$$
A_{mn}(t) = A_{mn} e^{2 ext{πi}ν_{mn}t}
$$

ここで、振動数νmnはリッツの結合法則を満たし、特にνnnは0です。また、Aはエルミート行列であって、A_{mn} = A_{nm}^{}が成立します。

位置と運動量の正準交換関係

位置座標Xと運動量Pに対応する行列は、次の正準交換関係を満たします：

$$
[X, P] = i ext{ℏ} I
$$

ここでIは単位行列で、また多自由度の系においては次のような関係も存在します：

$$
[X_i, P_j] = i ext{ℏ} δ_{ij} I
$$

力学量の時間発展

力学量Aの時間発展は、ハイゼンベルクの運動方程式によって記述されます。この方程式は次のように表されます：

$$
i ext{ℏ} rac{dA}{dt} = [A, H] = AH - HA
$$

ここでHはエルミート行列として系のハミルトニアンに対応します。

エネルギー固有値と時間発展

行列力学においては、ハミルトニアンHはエネルギー固有値Enを対角要素とする行列として扱われます。


例えば、具体的なシステムとして1次元の調和振動子を考える場合、ハミルトニアンは次のように表現されます：

$$
H(x, p) = rac{p^2}{2m} + rac{m ext{ω}^2 x^2}{2}
$$

このようにして、行列力学はエネルギー固有値が時間発展によって固定される方法を指し示しています。行列力学は、これまでの量子論の理解を深化させる重要な理論であり、物理学の根底に新たな視点を提供しています。

参考文献

W. Heisenberg (1925). “Über quantentheoretische Umdeutung kinematischer und mechanischer Beziehungen”. Zeitschrift für Physik 33: 879-893.
M. Born; P. Jordan (1925). “Zur Quantenmechanik”. Zeitschrift für Physik 34: 858-888.
高林武彦『量子論の発展史』筑摩書房、2002年。ISBN 4-480-08696-X。

もう一度検索