WZWモデル

ベス・ズミノ・ウィッテンモデルとは

ベス・ズミノ・ウィッテンモデル（Wess–Zumino–Witten model、略称WZWモデル）は、理論物理学および数学における重要な共形場理論の一つです。このモデルは、アフィン・カッツ・ムーディ代数が自らの解を形成するような単純な構造を持っています。WZWモデルの名前は、ユリウス・ヴェス、ブルーノ・ズミノ、セルゲイ・ノヴィコフ、エドワード・ウィッテンの四人の物理学者から由来しています。

作用と定義

このモデルは、コンパクトかつ単連結なリー群Gとその単純リー代数gに基づいて定義されています。場γは、Gに値を持つ複素平面上の変数として設定され、リーマン球面S²上においても定義されます。WZWモデルは次のような作用Sk（γ）で表される非線型シグマモデルによって記述されます。

$$
S_{k}(eta) = -\frac{k}{8\pi} \int_{S^{2}} d^{2}x \mathcal{K} (\gamma^{-1} \partial^{\mu} \gamma, \gamma^{-1} \partial_{\mu} \gamma) + 2\pi k S^{WZ} (\gamma).
$$

ここで、$\partial_{\mu} = \frac{\partial}{\partial x^{\mu}}$は偏微分を表し、$\mathcal{K}$はg上のキリング形式と呼ばれるもので、場の量子論における力学的な基盤となる機能を持っています。

Wess–Zumino項

WZWモデルには、ベス・ズミノ項（Wess–Zumino term）と呼ばれる特別な項$S^{WZ}(\gamma)$があり、次のように記述されます。

$$
S^{WZ}(\gamma) = -\frac{1}{48\pi^{2}} \int_{B^{3}} d^{3}y \epsilon^{ijk} \mathcal{K} (\gamma^{-1} \frac{\partial \gamma}{\partial y^{i}}, [\gamma^{-1} \frac{\partial \gamma}{\partial y^{j}}, \gamma^{-1} \frac{\partial \gamma}{\partial y^{k}}]).
$$

この式では、$\epsilon^{ijk}$は完全反対称なテンソルであり、$B^{3}$は3次元の単位球を表します。ここで場$\gamma$はこの球の内部での関数として拡張されることが可能です。このプロセスはホモトピー群が特定の条件を満たすことから可能であり、これは物理のさまざまな側面に関連しています。

拡張とトポロジー

$S^{WZ}(\gamma)$における場の拡張は一意的ではなく、異なる拡張から新たな数学的条件が導かれることになります。例えば、球体の部分で互いに接触する異なる2つの拡張を考えた場合、これにより生成されるトポロジカルな3-球は、各拡張における巻き付き数を考慮した整数値の差異を持つことがわかります。

$$
S^{WZ}(\gamma) = S^{WZ}(\gamma') + n,
$$

ここで$n$は巻き付き数を表し、二つの拡張の間で異なる量子状態を持つことを示しています。

このように、WZWモデルにはトポロジーや物理現象の理解を深めるための重要な要素が含まれています。

一般化とカレント代数

WZWモデルは、リーマン球面だけでなく、他の多様体においても一般化できる可能性があり、特にカレント代数に関しては、カッツ・ムーディー代数に関連して考察されることが一般的です。また、ストレスエネルギーテンソルは、菅原構成（Sugawara construction）によって表現されます。

加えて、このモデルの商を考えることで新たな共形場理論を導出することも可能であり、これにより理論の深い物理的意味を探ることができます。

参考文献

この分野における研究や文献は広範であり、今後の研究によって更なる進展が期待されます。特に、特定のリー群に対するWZWモデルの適用は、物理学のさまざまな現象において重要な役割を果たす可能性があるため、引き続き注目が集まるでしょう。

以上のように、ベス・ズミノ・ウィッテンモデルは、共形場理論、トポロジー、量子場理論の交差点において多くの魅力的な問題や応用を抱える興味深いテーマです。

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