タイル張り

タイル張り（テセレーション）

幾何学において、タイル張りとは、特定の種類の図形、すなわち「タイル」を用いて、対象となる空間（主に平面）を隙間なく、また重なりもないように敷き詰める問題、あるいはその結果として得られるパターンを指します。「テセレーション」「平面充填」「平面分割」「平面の敷き詰め」など、様々な呼び方があります。

ここでいう「空間」は平面に限らず、曲面や高次元空間を含む場合もあります。例えば、立体的な多面体は、多角形を使って球面の表面をタイル張りしたものとみなすことができます。2次元以外の空間での広義のテセレーションについては、「空間充填」という言葉が用いられることもあります。

1種類のタイルによるタイル張り

単一タイル張り（monohedral tiling）とは、ただ一種類の合同なタイルのみを用いて空間を敷き詰める方法です。

正多角形

単一タイル張りが可能な凸正多角形は、正三角形、正方形、正六角形の3種類だけであることが知られています。これは古代ギリシャの数学者ピタゴラスによって証明されたと伝えられています。

これらの正多角形は、各頂点に集まるタイルの内角の合計がちょうど360度になるように配置することで敷き詰めることができます。それぞれの形状は、シュレーフリ記号を用いて以下のように表されます。

• - 正三角形: {3, 6} （1つの頂点に正三角形が6つ集まる）
• - 正方形: {4, 4} （1つの頂点に正方形が4つ集まる）
• - 正六角形: {6, 3} （1つの頂点に正六角形が3つ集まる）

単一タイル張り可能な正p角形の内角は $\frac{(p-2) \times 180^{\circ}}{p}$ であり、q個のタイルが頂点に集まるならば、合計角度は $\frac{(p-2) \times 180^{\circ}}{p} \times q = 360^{\circ}$ となります。この式を整理すると、$(p-2)(q-2)=4$ というシンプルな関係式が得られます。この方程式を満たす正の整数解 (p, q) が (3, 6), (4, 4), (6, 3) の3組だけであることから、単一タイル張りが可能な正多角形はこれら3種類に限定されることが数学的に証明されます。

なお、正三角形や正方形については、タイルの頂点が別のタイルの辺の中間点で接するように配置することも可能ですが、これは辺を分割し、180度の内角で接していると見なすことで、より一般的なタイル張りの特殊なケースとして扱えます。

三角形と四角形

全ての三角形は、合同なものを2つ組み合わせると平行四辺形になる性質を持つため、単一タイル張りが可能です。同様に、全ての四角形も、合同なものを2つ組み合わせることで平行六角形を作れるため、単一タイル張りを行うことができます。また、全ての平行四辺形および全ての合同な平行六角形（3組の対辺が平行で等長な六角形）も単一タイル張りが可能です。

さらに、平行六角形は中心を通る直線で合同な2つの五角形に分割できます。このような形状の五角形も単一タイル張り可能です。

特定の多角形に関する研究

五角形による単一タイル張りは、現代数学においても未解決の部分が多く、活発な研究分野です。特に、それ一種類だけで平面を周期的に敷き詰められる凸五角形の形状は、これまで15種類もの型が発見されています。驚くべきことに、これらの多くはアマチュアの数学者、マージョリー・ライスによって1970年代に発見されました。最新の15番目の型は、2015年にケイシー・マンらのチームによって発見されています。Raoは2017年にこれらの15種類で全てであるとする論文を発表しましたが、まだ査読中の段階です。凸でない五角形や、非周期的な五角形によるタイル張りも研究されています。

六角形に関しては、一種類で平面を周期的にタイル張りできる凸六角形は3種類知られています。

形状の変形

単一タイル張りが可能な図形に対して、対応する場所に凹凸をつけるような変形を施した場合でも、やはり単一タイル張りを行うことができます。エッシャーの騙し絵のような周期的なパターンによく見られます。

複数種類のタイルによるタイル張り

複数の種類のタイルを組み合わせて平面を敷き詰めることも可能です。

正多角形を複数使用

正多角形のみを使用し、かつ全ての頂点において集まるタイルの種類と順序が一様であるようなタイル張りは、「アルキメデスのタイル張り」と呼ばれ、全部で8種類存在します。これらは半正多面体と関連付けられることもあります。

ペンローズ・タイル

有名な例として、2種類の特殊な菱形を用いて平面を敷き詰める「ペンローズ・タイル」があります。これは後述する非周期的タイル張りの代表例です。

特殊なタイル張り

中心のあるタイル張り

これまでに見てきたタイル張りは、平行移動に対して同じパターンが繰り返される「周期的な」ものがほとんどでした。しかし、中心を定めてそこから放射状にタイルを敷き詰める「放射充填」や、螺旋状に敷き詰める「螺旋充填」といった、一見周期性を持たないように見えるものもあります。これらは回転対称性などを持つ、別の意味での周期的なパターンとみなすこともできます。

非周期的タイル張り

空間全体で一切の周期性を持たないタイル張りも存在します。ただし、周期的なパターンをランダムに変形させたようなものは含まれません。最初の非周期的タイル張りは1966年に非常に多くの種類のタイルを使って発見されましたが、その後、より少ない種類数での実現が探求されました。1974年にロジャー・ペンローズが考案した2種類の菱形による「ペンローズ・タイル」はその代表例です。

長らく未解決であった問題に「アインシュタイン問題」がありました。これは、「ただ一種類のタイル（モノタイル）で、非周期的タイル張りだけが可能となるようなタイルは存在するか？」という問いです。2011年に非連結なタイルで可能であることが示されましたが、連結なタイルでの解決が求められていました。そして2023年、David Smithらのチームが、まず裏返しを許容する条件で「帽子（hat）」と名付けられた13角形のタイルを発表し、その直後に裏返し不要な14角形のタイル「Spectre」を発表したことで、アインシュタイン問題は完全に解決されたとされています。高次元空間では、1種類のブロックによる非周期充填が1990年代に発見されています。

双対性

多角形によるタイル張りには、多面体における双対多面体のように、双対関係にあるタイル張りを考えることができます。

• - 正方形 {4, 4} の双対は正方形 {4, 4}
• - 正三角形 {3, 6} の双対は正六角形 {6, 3}

アルキメデスのタイル張りの双対は、1種類の多角形（鏡像を含む場合は同じものと見なす）によるタイル張りとなります。

タイル張りは、数学的な探求の対象であると同時に、建築やデザイン、芸術など、幅広い分野に応用され、私たちの身の回りでも見ることができます。

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