モース理論

モース理論

モース理論は、微分トポロジーと呼ばれる分野で、多様体（滑らかな図形）の位相的な性質を、その多様体上で定義された微分可能な関数を使って調べるための強力な数学的手法です。マーストン・モースによって基礎が築かれたこの理論は、「多様体上の典型的な関数は、その多様体の位相構造を非常に直接的に反映する」という基本的な考えに基づいています。

モース理論を用いると、多様体を構成する「部品」（セル）の関係を示すCW構造や、多様体をシンプルに分解するハンドル分解を見つけることができ、多様体のホモロジー群（位相的な穴の数を表す情報）についても本質的な洞察が得られます。

基本的な考え方

モース理論の考え方を理解するために、山や谷のある土地の表面を想像してみましょう。この表面上の各点の「高さ」を表す関数を考えます。ある高さで地面を切った断面、つまり同じ高さの点を集めた線は「等高線」となります。この等高線は、場所によって点の集まりになったり、閉じた曲線になったりします。特に地形が変化する特異な点として、山頂や谷底（ここでは点が集まり）、または稜線と谷間が交わる鞍点（ここでは等高線が交差する二重点）があります。これらの、関数の勾配がゼロとなる点が臨界点と呼ばれます。

次に、この土地を水に浸していく様子を想像します。水位を徐々に上げていくと、水面が覆う領域の形や繋がり方が変化します。この変化が起こるのは、水位が臨界点（山頂、谷底、鞍点）の高さに達したときです。例えば、谷底から水が広がり始め（新しい領域の出現）、鞍点を通過する際には複数の水たまりが結合したり、一つの水たまりが分かれたりし（領域の繋がりの変化）、山頂が最後に水没して土地全体が覆われます。

これらの臨界点には、その点から関数値が減少する方向の数を示す「指数」が割り当てられます。平らな二次元の土地の例では、谷底（極小点）の指数は0、鞍点（峠）の指数は1、山頂（極大点）の指数は2となります。一般の多様体上の関数における臨界点の指数は、その点での関数の二階微分（ヘッセ行列）が負の定値性を持つような最大の接空間の次元で定義されます。

理論の形式化

多様体 M 上で定義された滑らかな実数値関数 f に対して、f の勾配がゼロになる点を臨界点と呼び、その関数値を臨界値と呼びます。臨界点において、f の二階偏微分からなる行列（ヘッセ行列）が逆行列を持つ場合、その臨界点は非退化であると言われます。ヘッセ行列が逆行列を持たない場合は退化臨界点です。

モース理論の中心的な主張の一つは、「ほとんどすべての」滑らかな関数は非退化な臨界点しか持たない、つまりモース関数であるということです。これは、少しの関数の摂動（微調整）で退化臨界点を解消できるという意味で、数学的に厳密に証明されています。

モース理論の基本的な定理は、関数のレベル集合（関数値が特定の高さ以下の点の集合）のトポロジーが、関数値の増加に伴ってどのように変化するかを記述します。

1. もし区間 [a, b] の中に臨界値が存在しないならば、レベル集合 f⁻¹(−∞, a] のトポロジーは f⁻¹(−∞, b] のトポロジーと基本的に同じです（ホモトピー同値）。つまり、臨界点がない限り、レベル集合の形や繋がり方は変わりません。
2. もし関数値が指数 γ の非退化臨界点を通過すると、レベル集合のトポロジーは、もともとの集合に γ 次元の「セル（cell）」を貼り付けたもののように変化します。

これらの定理から、モース関数を持つ任意の微分可能多様体は、臨界点の指数に対応する次元のセルを貼り合わせて構成されるCW複体とみなせる、という重要な結論が導かれます。

モース不等式とホモロジー

モース理論は、多様体のホモロジー群、すなわち位相的な「穴」の構造を調べる上で非常に有用です。多様体をモース関数によるCW複体として捉えると、指数 γ の臨界点の数が、そのCW複体における γ 次元セルの数に対応します。位相空間のホモロジー群のランク（ベッチ数と呼ばれる）は、このセルの数と関連づけられます。

特に、モース理論はモース不等式と呼ばれる一連の関係式を提供します。これは、指数 γ を持つ臨界点の数 Cγ が、多様体の γ 次ホモロジー群のランク bγ(M) 以上であることを示します (Cγ ≥ bγ(M))。より詳細な不等式も存在し、これらは臨界点の数から多様体の位相構造に強い制限を与えることを意味します。

例えば、閉多様体がちょうど2つの臨界点を持つモース関数を持つ場合、その多様体は必ず球面に同相であることが知られています（レーブの球定理）。

発展と応用

モース理論は、様々な方向に発展しました。例えば、モースホモロジーは、モース理論を用いて多様体のホモロジー群を直接構成する方法であり、特異ホモロジーと同型になることが示されています。これはモース不等式を厳密に証明する手段となります。

また、臨界点の集合が単なる点ではなく、連結な多様体となるような関数を扱うモース・ボット理論も発展しました。これはラウル・ボットによるボットの周期性定理の証明などに用いられ、対称性を持つ問題などで特に強力なツールとなります。

モース理論は、測地線の理論における最小作用点の解析に始まり、現代ではシンプレクティック幾何学、理論物理学（超対称性理論との関連でエドワード・ウィッテンが展開した解析的手法など）といった幅広い分野に応用されています。その基本的な考え方は、複雑な対象の構造を、関数の局所的な振る舞いを通じて理解するという、数学における普遍的なテーマの一つと言えるでしょう。

過去にはアーサー・ケイリーやジェームズ・クラーク・マクスウェルが地形図の文脈で類似のアイデアに触れており、モース理論はこうした直感的考察を厳密な数学的枠組みへと発展させたものです。

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