九章算術
『九章算術』は、古代中国を代表する数学書の一つです。特定の著者が明らかではなく、長い年月をかけて加筆・修正が加えられることで、現在の形にまとまったと考えられています。研究成果からは、前漢時代の張蒼や耿寿昌もその改訂に関わったことが示唆されています。三国時代の魏の数学者である劉徽が263年に詳細な註釈本を作成していることなどから、本書の成立年代は紀元前1世紀から紀元後2世紀頃と推定されています。これは、1983年に発見された『算数書』に次ぐ、古い時代の貴重な数学文献として位置づけられています。
本書はその名の通り、全9章から構成されており、合計で246個の具体的な問題を収録した問題集形式をとっています。各章は、基礎的な計算方法から応用的なものへと順序立てて紹介されており、問題を通して算術の様々な手法を学ぶ構成となっています。
方田（ほうでん）：主に田畑の面積計算を扱い、分数の四則演算や長方形、三角形、台形、円などの面積を求める方法について論じます。
粟米（ぞくべい）：異なる商品の交換レートに基づく物々交換の計算、いわゆる「三量法」に代表される比例計算の基礎を解説します。
衰分（すいぶん）：財産や金銭を分配する方法を扱い、比例按分や利息計算など、等比級数や等差級数を含む分配の問題を取り上げます。
少広（しょうこう）：面積や体積から辺の長さを求める計算、平方根や立方根の開法について、土地測量に関わる問題を通じて説明します。
商功（しょうこう）：土木工事における土石の量などを算出する方法を扱い、城や家屋、運河建設に関わる体積計算の問題を含みます。
均輸（きんゆ）：租税計算や複雑な比例計算に関する問題を扱います。
盈不足（えいふそく）：鶴亀算や復仮定法といった手法を用い、与えられた条件から過不足を考慮して解を導く問題を論じます。
方程（ほうてい）：連立一次方程式の解法に焦点を当て、ガウスの消去法に類する方法を紹介します。ここでは、その計算に必要な負の数とその演算規則も導入されており、二元・三元の連立方程式を扱っています。
* 句股（こうこ）：直角三角形の辺に関する問題、すなわちピタゴラスの定理（句股定理）を用いた測量などの応用を扱います。
『九章算術』には、「（引き算において）同符号は引き、異符号は加える。正を無入（0を指す）から引けば負となり、負を無入から引けば正となる」という記述があります。このことから、当時の中国数学においてすでにゼロと負の数の概念およびその計算規則が理解されていたことがうかがえます。特に第八章「方程」では、この知識を用いて連立一次方程式を効果的に解く手法が示されています。
また、本書は具体的な問題提示から始め、「答曰く、」（答えはこうである）で解答を、「術曰く、」（計算方法はこうである）で解法を示すという、帰納的な記述スタイルをとっています。これは、演繹的な証明を重んじるヨーロッパやアラビアの数学とは異なる特徴であり、以後の中国数学書の規範となりました。このスタイルは日本にも伝わり、和算の書物や算額にも影響を与えています。
『九章算術』には、周代以来の古い問題から漢代の新しい数学的知見までが網羅されており、その内容の豊かさと質の高さから、古代中国における主要な数学書として広く用いられました。この書は中国数学の体系を確立した書と評価されており、その数学的スタイルや方法は清代中期に西洋数学が本格的に導入されるまで、長きにわたり影響力を保ち続けました。現代においても、日本や中国の数学教科書でコラムとして紹介されることがあります。
本書には古くから多くの数学者による註釈が施されており、中でも三国時代の劉徽によるものと、唐代の李淳風によるものが著名です。例えば、原本で円周率を3としている点に対し、劉徽はより精確な計算を行い、\(3.14 + \frac{64}{62500} < \pi < 3.14 + \frac{169}{62500}\) という不等式を示し、近似値として3.14を用いるのが良いと論じました。この円周率の近似値は、3世紀頃の当時としては世界最高水準の精度であり、劉徽にちなんで「徽率（きりつ）」と称されました。
唐代には、李淳風らが国子監での教科書として編纂した『算経十書』の一つに選ばれ、その中でも最も重視されました。後世の数学書には、『九章算術』を模範として9章構成としたものも見られます（例：秦九韶の『数書九章』、程大位の『算法統宗』）。古代日本においても、大宝律令・養老律令において大学寮算道の必修教科書とされ、算博士が教授しました。
元代から明代にかけては散逸の危機に瀕し、『九章算術』を直接参照せずに「九章」などを標題に冠した算書が現れることもありました。しかし、清代中期に戴震が『永楽大典』を基に校訂作業を行ったことで、信頼できる底本が確立され、その研究と伝承が続けられました。
構成
本書はその名の通り、全9章から構成されており、合計で246個の具体的な問題を収録した問題集形式をとっています。各章は、基礎的な計算方法から応用的なものへと順序立てて紹介されており、問題を通して算術の様々な手法を学ぶ構成となっています。
方田（ほうでん）：主に田畑の面積計算を扱い、分数の四則演算や長方形、三角形、台形、円などの面積を求める方法について論じます。
粟米（ぞくべい）：異なる商品の交換レートに基づく物々交換の計算、いわゆる「三量法」に代表される比例計算の基礎を解説します。
衰分（すいぶん）：財産や金銭を分配する方法を扱い、比例按分や利息計算など、等比級数や等差級数を含む分配の問題を取り上げます。
少広（しょうこう）：面積や体積から辺の長さを求める計算、平方根や立方根の開法について、土地測量に関わる問題を通じて説明します。
商功（しょうこう）：土木工事における土石の量などを算出する方法を扱い、城や家屋、運河建設に関わる体積計算の問題を含みます。
均輸（きんゆ）：租税計算や複雑な比例計算に関する問題を扱います。
盈不足（えいふそく）：鶴亀算や復仮定法といった手法を用い、与えられた条件から過不足を考慮して解を導く問題を論じます。
方程（ほうてい）：連立一次方程式の解法に焦点を当て、ガウスの消去法に類する方法を紹介します。ここでは、その計算に必要な負の数とその演算規則も導入されており、二元・三元の連立方程式を扱っています。
* 句股（こうこ）：直角三角形の辺に関する問題、すなわちピタゴラスの定理（句股定理）を用いた測量などの応用を扱います。
内容の特徴
『九章算術』には、「（引き算において）同符号は引き、異符号は加える。正を無入（0を指す）から引けば負となり、負を無入から引けば正となる」という記述があります。このことから、当時の中国数学においてすでにゼロと負の数の概念およびその計算規則が理解されていたことがうかがえます。特に第八章「方程」では、この知識を用いて連立一次方程式を効果的に解く手法が示されています。
また、本書は具体的な問題提示から始め、「答曰く、」（答えはこうである）で解答を、「術曰く、」（計算方法はこうである）で解法を示すという、帰納的な記述スタイルをとっています。これは、演繹的な証明を重んじるヨーロッパやアラビアの数学とは異なる特徴であり、以後の中国数学書の規範となりました。このスタイルは日本にも伝わり、和算の書物や算額にも影響を与えています。
歴史的影響
『九章算術』には、周代以来の古い問題から漢代の新しい数学的知見までが網羅されており、その内容の豊かさと質の高さから、古代中国における主要な数学書として広く用いられました。この書は中国数学の体系を確立した書と評価されており、その数学的スタイルや方法は清代中期に西洋数学が本格的に導入されるまで、長きにわたり影響力を保ち続けました。現代においても、日本や中国の数学教科書でコラムとして紹介されることがあります。
本書には古くから多くの数学者による註釈が施されており、中でも三国時代の劉徽によるものと、唐代の李淳風によるものが著名です。例えば、原本で円周率を3としている点に対し、劉徽はより精確な計算を行い、\(3.14 + \frac{64}{62500} < \pi < 3.14 + \frac{169}{62500}\) という不等式を示し、近似値として3.14を用いるのが良いと論じました。この円周率の近似値は、3世紀頃の当時としては世界最高水準の精度であり、劉徽にちなんで「徽率（きりつ）」と称されました。
唐代には、李淳風らが国子監での教科書として編纂した『算経十書』の一つに選ばれ、その中でも最も重視されました。後世の数学書には、『九章算術』を模範として9章構成としたものも見られます（例：秦九韶の『数書九章』、程大位の『算法統宗』）。古代日本においても、大宝律令・養老律令において大学寮算道の必修教科書とされ、算博士が教授しました。
元代から明代にかけては散逸の危機に瀕し、『九章算術』を直接参照せずに「九章」などを標題に冠した算書が現れることもありました。しかし、清代中期に戴震が『永楽大典』を基に校訂作業を行ったことで、信頼できる底本が確立され、その研究と伝承が続けられました。
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