実数空間
数学において、実 n-次元数空間（リアル エヌ次元すうくうかん、英: real n-space）は、実数を n 個並べた組をひとつの単位として扱うための基本的な空間概念です。通常、記号として $\mathbb{R}^n$ や R^n と表記されます。この空間は、純粋数学だけでなく、応用数学や物理学など、多岐にわたる分野で基礎として用いられています。
実 n-次元数空間 $\mathbb{R}^n$ は、実数の n-組 $(x_1, x_2, \ldots, x_n)$ 全てを集めた集合として定義されます。ここで、$x_1, x_2, \ldots, x_n$ はそれぞれ実数です。例えば、n=1のときは実数直線 $\mathbb{R}$、n=2のときは平面 $\mathbb{R}^2$、n=3のときは3次元空間 $\mathbb{R}^3$ を考えれば分かりやすいでしょう。これらの空間は、対応する次元 n に対して一意に定まります。
実数全体の集合 $\mathbb{R}$ が持つ数学的な構造を継承し、$\mathbb{R}^n$ にはいくつかの重要な構造が付与されます。
1. ベクトル空間構造: $\mathbb{R}^n$ は、実数のn-組に対する自然な加法とスカラー倍によって、実ベクトル空間となります。これは「数ベクトル空間」とも呼ばれ、線型代数学の基本的な舞台です。
2. 位相空間構造: $\mathbb{R}^n$ には、ユークリッド距離によって誘導される標準的な位相（ユークリッド位相、あるいは通常の位相）が与えられます。この位相により、$\mathbb{R}^n$ における点列の収束や連続といった概念を定義することができます。開集合は、その集合に含まれる各点を中心とする開球体を常に含む集合として特徴づけられます。$\mathbb{R}^n$ は位相線型空間でもあり、その位相次元は n です。次元が異なる空間 $\mathbb{R}^m$ と $\mathbb{R}^n$ ($m
eq n$) は、位相空間として同相ではないという重要な性質（ブラウワーの領域不変性から導かれる）を持ちますが、連続写像によっては低次元空間が高次元空間を埋め尽くす（空間充填曲線）といった直観に反する現象も起こり得ます。
3. ユークリッド構造: 標準的な 内積（点乗積）である $\mathbf{x} \cdot \mathbf{y} = \sum_{i=1}^n x_i y_i$ を導入することで、$\mathbb{R}^n$ には ノルム（長さ）$\|\mathbf{x}\| = \sqrt{\mathbf{x} \cdot \mathbf{x}}$ および 距離 $d(\mathbf{x}, \mathbf{y}) = \|\mathbf{x} - \mathbf{y}\|$ が定まります。この距離により、$\mathbb{R}^n$ は 距離空間となり、さらに完備なユークリッド空間としての性質を持ちます。厳密には、実n次元数空間 $\mathbb{R}^n$ とn次元ユークリッド空間は区別されますが、$\mathbb{R}^n$ 上に標準的なユークリッド構造を与えることが多いため、しばしば同じ意味で用いられます。また、ユークリッド距離と同値な他の距離構造を導入することも可能です。
4. 向き: 実数体が順序体であることに起因して、$\mathbb{R}^n$ には 向き の概念が定まります。$\mathbb{R}^n$ から自身への非退化線型写像は、向きを保つか逆にするかのいずれかであり、これは写像の行列式の符号によって判別できます。微分同相写像も同様に分類され、微分形式の理論などで重要となります。
5. アフィン構造: $\mathbb{R}^n$ は、ベクトル空間の自己への平行移動として作用するものと見なすことで、アフィン空間としても解釈できます。この観点では、空間に標準的な原点が存在しないと考えられます。
$\mathbb{R}^n$ は、数学や科学の様々な分野で基盤となる空間として活用されています。
多変数関数の定義域: $n$ 個の実変数を持つ関数 $f(x_1, \ldots, x_n)$ は、$\mathbb{R}^n$ を定義域とする関数として自然に捉えられます。これにより、複数の変数をまとめて扱うことができ、記法の簡略化や、多変数における連続性などの概念の定式化に役立ちます。
多様体論: 多様体の定義において、局所的な構造を記述するためのモデル空間として、$\mathbb{R}^n$ が最も一般的に用いられます。例えば、m次元可微分多様体は $2m$ 次元実数空間 $\mathbb{R}^{2m}$ に埋め込める（ホイットニーの埋蔵定理）ことが知られています。
* 他の構造の基盤: 擬ユークリッド空間、偶数次元における斜交構造、奇数次元における接触構造など、様々な幾何学的構造や代数的構造を定義する際の基礎となる空間でもあります。$\mathbb{R}^n$ はまた、複素数空間 $\mathbb{C}^n$ の実線型部分空間と見なすこともできます。
$\mathbb{R}^n$ は、その単純な定義にも関わらず、多様な数学的構造を持ち、多くの抽象的な概念や具体的な応用を支える、極めて基本的な数学的対象と言えます。
定義
実 n-次元数空間 $\mathbb{R}^n$ は、実数の n-組 $(x_1, x_2, \ldots, x_n)$ 全てを集めた集合として定義されます。ここで、$x_1, x_2, \ldots, x_n$ はそれぞれ実数です。例えば、n=1のときは実数直線 $\mathbb{R}$、n=2のときは平面 $\mathbb{R}^2$、n=3のときは3次元空間 $\mathbb{R}^3$ を考えれば分かりやすいでしょう。これらの空間は、対応する次元 n に対して一意に定まります。
構造
実数全体の集合 $\mathbb{R}$ が持つ数学的な構造を継承し、$\mathbb{R}^n$ にはいくつかの重要な構造が付与されます。
1. ベクトル空間構造: $\mathbb{R}^n$ は、実数のn-組に対する自然な加法とスカラー倍によって、実ベクトル空間となります。これは「数ベクトル空間」とも呼ばれ、線型代数学の基本的な舞台です。
2. 位相空間構造: $\mathbb{R}^n$ には、ユークリッド距離によって誘導される標準的な位相（ユークリッド位相、あるいは通常の位相）が与えられます。この位相により、$\mathbb{R}^n$ における点列の収束や連続といった概念を定義することができます。開集合は、その集合に含まれる各点を中心とする開球体を常に含む集合として特徴づけられます。$\mathbb{R}^n$ は位相線型空間でもあり、その位相次元は n です。次元が異なる空間 $\mathbb{R}^m$ と $\mathbb{R}^n$ ($m
eq n$) は、位相空間として同相ではないという重要な性質（ブラウワーの領域不変性から導かれる）を持ちますが、連続写像によっては低次元空間が高次元空間を埋め尽くす（空間充填曲線）といった直観に反する現象も起こり得ます。
3. ユークリッド構造: 標準的な 内積（点乗積）である $\mathbf{x} \cdot \mathbf{y} = \sum_{i=1}^n x_i y_i$ を導入することで、$\mathbb{R}^n$ には ノルム（長さ）$\|\mathbf{x}\| = \sqrt{\mathbf{x} \cdot \mathbf{x}}$ および 距離 $d(\mathbf{x}, \mathbf{y}) = \|\mathbf{x} - \mathbf{y}\|$ が定まります。この距離により、$\mathbb{R}^n$ は 距離空間となり、さらに完備なユークリッド空間としての性質を持ちます。厳密には、実n次元数空間 $\mathbb{R}^n$ とn次元ユークリッド空間は区別されますが、$\mathbb{R}^n$ 上に標準的なユークリッド構造を与えることが多いため、しばしば同じ意味で用いられます。また、ユークリッド距離と同値な他の距離構造を導入することも可能です。
4. 向き: 実数体が順序体であることに起因して、$\mathbb{R}^n$ には 向き の概念が定まります。$\mathbb{R}^n$ から自身への非退化線型写像は、向きを保つか逆にするかのいずれかであり、これは写像の行列式の符号によって判別できます。微分同相写像も同様に分類され、微分形式の理論などで重要となります。
5. アフィン構造: $\mathbb{R}^n$ は、ベクトル空間の自己への平行移動として作用するものと見なすことで、アフィン空間としても解釈できます。この観点では、空間に標準的な原点が存在しないと考えられます。
用例
$\mathbb{R}^n$ は、数学や科学の様々な分野で基盤となる空間として活用されています。
多変数関数の定義域: $n$ 個の実変数を持つ関数 $f(x_1, \ldots, x_n)$ は、$\mathbb{R}^n$ を定義域とする関数として自然に捉えられます。これにより、複数の変数をまとめて扱うことができ、記法の簡略化や、多変数における連続性などの概念の定式化に役立ちます。
多様体論: 多様体の定義において、局所的な構造を記述するためのモデル空間として、$\mathbb{R}^n$ が最も一般的に用いられます。例えば、m次元可微分多様体は $2m$ 次元実数空間 $\mathbb{R}^{2m}$ に埋め込める（ホイットニーの埋蔵定理）ことが知られています。
* 他の構造の基盤: 擬ユークリッド空間、偶数次元における斜交構造、奇数次元における接触構造など、様々な幾何学的構造や代数的構造を定義する際の基礎となる空間でもあります。$\mathbb{R}^n$ はまた、複素数空間 $\mathbb{C}^n$ の実線型部分空間と見なすこともできます。
$\mathbb{R}^n$ は、その単純な定義にも関わらず、多様な数学的構造を持ち、多くの抽象的な概念や具体的な応用を支える、極めて基本的な数学的対象と言えます。
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