濃度 (数学)

集合の濃度とは

数学、特に集合論において、濃度（カーディナリティ）とは、集合の「大きさ」を表す概念です。有限集合であれば要素の個数でその大きさを測ることができますが、無限集合では要素の個数を数えることができません。そこで、集合の濃度は、有限集合における要素数の概念を一般の集合に拡張したものです。集合の濃度は基数という数で表されます。

歴史的には、カントールが初めて無限集合のサイズが一つではないことを発見しました。

濃度の関係

集合XとYの間に全単射が存在するとき、XとYは濃度が等しいといい、`X ≈ Y`と表記します。

集合Xから集合Yへの単射が存在するとき、Xの濃度はYの濃度以下であるといい、`X ≾ Y`と表記します。

集合XとYについて、`X ≾ Y`だが`X ≈ Y`でないとき、Xの濃度はYの濃度より小さいといい、`X ≺ Y`と表記します。

シュレーダー=ベルンシュタインの定理により、`X ≾ Y`かつ`Y ≾ X`ならば、`X ≈ Y`が成り立ちます。また、選択公理を仮定すると、任意の集合XとYに対して、`X ≾ Y`または`Y ≾ X`が成り立ちます。

`| X | = | Y | ⇔ X ≈ Y`が常に成り立つ集合への数学的対象の割り当てを濃度といい、濃度として割り当てられる数学的対象を基数といいます。濃度`| X |`は`card(X)`、`#X`などとも表記されます。

厳密な定義

集合Xの濃度の最も古い定義は、Xと一対一対応のつくすべての集合からなるクラス`[X]`としての定義です。しかし、この定義はZFCなどの公理系ではうまく機能しません。なぜなら、Xが空でないならば、一対一対応のつくすべての集合を集めたものは集合としては大きすぎるからです。実際、Xを空でない集合としたとき、集合Sに`{S} × X`を対応させる写像を考えると、宇宙から`[X]`への単射が存在し、サイズの限界より、`[X]`は真のクラスとなります。

フォン・ノイマンの割り当て

選択公理を仮定すると、集合Xに対し、濃度`| X |`を以下のように定義できます。

`| X | := min{α ∈ ON : |α| = | X | }`

ここで、`ON`は順序数のクラスを表します。この定義をフォン・ノイマンの割り当てといいます。

スコットのトリック

正則性公理のもとで、任意のクラスに対し、その部分クラスとなる集合を割り当てる方法であるスコットのトリックを使うと、整列可能とは限らない集合Xに濃度`| X |`を以下のように割り当てることができます。

`| X | := {A : | A | = | X | かつ、任意の集合 B に対し「| B | = | X | → rank( A) ≤ rank( B)」}`

どのような定義を採用するにしても、集合の濃度が等しいのは、それらの間に全単射が構成できるちょうどそのときです。

様々な集合の濃度

有限集合

有限集合の濃度は自然数を使って表されます。濃度がnである集合をn点集合といいます。

可算集合

自然数全体の集合の濃度を可算無限濃度または単に可算濃度といいます。通常、`ℵ₀`（アレフ・ゼロ）または `a`と表記されます。`ℵ`はヘブライ文字のアレフです。濃度が可算無限になる集合を可算無限集合または単に可算集合といいます。例えば、整数全体の集合や有理数全体の集合は可算無限集合です。可算無限以下である濃度を高々可算な濃度または単に可算濃度といいます。

可算無限濃度`ℵ₀`には以下の性質があります。

`ℵ₀`は極小な無限濃度です。つまり、`κ`が`ℵ₀`より小さい濃度ならば、`κ`は有限濃度（自然数）です。
選択公理を仮定すると、`ℵ₀`は最小の無限濃度です。つまり、すべての無限濃度`κ`に対して、`ℵ₀ ≤ κ`が成り立ちます。

非可算集合

連続体濃度とは、実数全体の集合の濃度です。`ℵ`または`c`と表記されます（ベート数を使って`ℶ₁`と書くこともできます）。カントールの対角線論法により、`ℵ₀ < ℵ`が証明されます。ユークリッド空間をはじめとする多くの有限次元の空間が連続体濃度を持ちます。さらに、ユークリッド空間上の連続関数全体や可分なヒルベルト空間全体もこの濃度です。

連続体濃度の冪濃度は`ℶ₂` あるいは `2^c`などと表記されます。ユークリッド空間上の関数全体などはこの濃度を持ちます。

集合演算と濃度

濃度の間に以下の演算が定義されます。

`| X |+| Y | := | X ⊔ Y |` (ただし、`X ⊔ Y`はXとYの直和 `(X × {0})∪(Y × {1})` )を、`| X |` と `| Y |` の和といいます。
`| X |·| Y | := | X × Y |` (ただし、`X × Y`はXとYの直積)を、`| X |` と `| Y |` の積といいます。
`| X || Y | := | XY|` (ただし、`XY`はYからXへの写像全体)を、`| X |` を底、`| Y |` を指数とする冪といいます。

このとき、以下が成立します。

`| X ∪ Y |+| X ∩ Y | = | X |+| Y |`
`| P(X ) | = 2| X |`

ここで、`P(X)`はXの冪集合を表します。

出典

000054246.html'>松坂和夫『集合・位相入門』岩波書店、1968年。ISBN 4-00-005424-4。

関連項目

0'>基数
0%A3%E7%B6%9A%E4%BD%93%E4%BB%AE%E8%AA%AC'>連続体仮説
0%A3%E7%B6%9A%E4%BD%93%E6%BF%83%E5%BA%A6'>連続体濃度

外部リンク

* 集合の濃度と可算無限・非可算無限

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