特殊ユニタリ群

特殊ユニタリ群SU(n)

特殊ユニタリ群、通称SU(n)とは、行列式が1であるn次のユニタリ行列が形成する群です。この群は行列の積を用いて演算されます。特に、SU(n)はユニタリ群U(n)の部分群であり、また一般線型群GL(n, C)においても部分群の役割を果たします。

SU(n)群は、素粒子物理学の分野において非常に重要であり、電弱相互作用を説明するワインバーグ＝サラム理論や、強い相互作用を扱う量子色力学に関わっており、これらの理論を統合した標準モデルや大統一理論の構築にも寄与しています。

定義

以下のように表現されます。

$$
SU(n) = \{ g \in U(n) \; | \; \det g = 1 \}
$$

ここで、U(n)はユニタリ群を指し、detは行列式の記号です。

性質

SU(n)は、いくつかの重要な性質を持っています。これには次のようなものがあります。

• - 次元は $n^2-1$ である。
• - コンパクトかつ単連結である。
• - ランクは$n-1$である。
• - SU(n)の中心は巡回群$Z_n$と同型である。
• - 外部自己同型群は、n≥3の場合は$Z_2$、n=2のときは自明な群です。

生成子

SU(n)の生成子Tは、トレースが0のエルミート行列で表現され、次の条件を満たします：

$$
\text{tr} \, T_a = 0
$$

さらに、次の関係も成り立ちます：

$$
T_a^{\dagger} = T_a
$$

基本表現

基本表現、または定義表現では、n次正方行列で表現されます。生成子の交換関係は次のように表されます：

$$
T_a T_b = \frac{1}{2n} \delta_{ab} I_n + \frac{1}{2} \sum_{c=1}^{n^2-1} (i f_{abc} + d_{abc}) T_c
$$

ここで、fは反対称性を持つ構造定数、dは対称性を持つ定数です。特に、生成子の交換関係は以下のようになります：

$$
[T_a, T_b] = i \sum_{c=1}^{n^2-1} f_{abc} T_c
$$

随伴表現

SU(n)の随伴表現では、n^2−1次の正方行列で表現され、その成分は次のように定義されます。

$$
(T_a)_{ij} = -i f_{aij}
$$

例

• - SU(2)：

その元は一般的に次の形で表されます。
$$
U = \begin{bmatrix}\alpha & -\bar{\beta} \\\beta & \bar{\alpha} \end{bmatrix}
$$
ここで、\alpha, \betaは複素数で、条件 \(|\alpha|^2 + |\beta|^2 = 1\) を満たします。

• - SU(3)：

その生成子Tの基本表現は次のように表され、ゲルマン行列を用いて表現されます。
$$
T_a = \frac{1}{2} \lambda_a
$$

ここで、\lambdaはゲルマン行列です。

他の群との関係

SU(n)は、幾つかの他の群との関係があり、特に対称性の破れに関連した部分群が重要です。以下はその一部の例です：

• - $$SU(p+q) \supset SU(p) \times SU(q) \times U(1)$$
• - $$SU(n) \supset O(n)$$
• - $$SU(2n) \supset USp(2n)$$

これらの関係性は、素粒子物理学の理論や数学の深い理解において不可欠です。

参考文献

• - [リー群]]
• - [Wolfram MathWorld - Special Unitary Group

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