直既約加群

直既約加群の概念と関連理論

直既約加群は、抽象代数学において非常に重要な構造の一つです。加群が直既約であるとは、その加群が0でない場合に、2つの0でない部分加群の直和として表せないことを指します。この概念は、より大きな構造における基本的な単位を理解するための鍵となります。直既約でない加群は「直可約」と呼ばれ、これらは直既約加群の性質を持ちません。

直既約は単純加群（既約）よりも弱い条件であることが特徴です。具体的には、単純な加群は真の部分加群が存在しない状態を示しますが、直既約な加群では部品としての分解が正当化されないという違いがあります。このため、直既約加群は多くの数学的状況において「構造の基本単位」として捉えられることが一般的です。

完全直可約加群

直既約加群の組み合わせとして得られる直和は「完全直可約」と呼ばれます。これは半単純加群と比べてより広い概念です。多くの実用的な状況では、不可欠な加群はこの完全直可約であるため、その性質の理解が必要とされます。具体的には、体上の加群、すなわちベクトル空間や、単項イデアル整域（PID）上の有限生成加群が該当します。これらの加群の研究は、線形代数、特にジョルダン標準形の理解の基礎を築きます。

具体例

体上の加群

体上の加群はベクトル空間として表現されます。ベクトル空間が直既約であることとその次元が1であることは同じ意義を持ちます。したがって、すべての一次元のベクトル空間は完全直可約であり、無限次元の場合は無限に多くの直和成分を持つことになります。

PID上の加群

PID上の有限生成加群は、構造定理により特徴づけられます。その準素分解は直既約加群への分解と見なされ、結果としてすべての有限生成加群は完全直可約として分類されます。具体的には、素イデアルに関連した加群が直既約であることが確認されています。例えば、位数4の巡回群は直既約ですが、単純とは言えません。このような例は多く存在し、加群の分類をより深く理解するための参考となります。

アーベル群と有理数

整数環上の加群はアーベル群として考えることができ、有限生成のアーベル群が直既約である条件は、Zまたは素数p、正整数nによる商群の同型を有することと等しいです。しかし、有限生成でない直既約アーベル群の例として有理数Qが挙げられます。これは直既約であるが、有限生成ではない特殊な事例です。

群環とマシュケの定理

標数が0の体上の群環では、マシュケの定理により、直既約加群と単純加群は同一視されます。しかし、正標数の場合は必ずしも一致するわけではありません。具体的には、標数pの体に対する巡回p-群において見られる独特の構造は、直既約と単純の概念に違いをもたらします。この種の発見は、加群の構造をより深く理解するための貴重な情報を提供します。

直既約加群の研究の重要性

すべての単純加群は直既約ですが、その逆は一般には成立しません。このことは、加群の自己準同型環を調査することで明らかになります。直既約かどうかを検証するための一つの条件として、自己準同型環が冪等元を持たないことが挙げられます。また、長さが有限の加群が直既約である場合、その自己準同型環が局所環であることは同値であるという点も重要です。

クルル・シュミットの定理によると、長さが有限な加群は有限個の直既約加群の直和として表現でき、この分解は基本的に一意となります。これにより、直既約加群の研究は、加群のより広範な理解の基盤を提供することができるのです。

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