稠密集合

稠密（ちゅうみつ、dense）

数学、特に位相空間論の分野において、「稠密」という言葉は、ある空間の中に部分集合がどれほど「密に」存在するかを表すために用いられます。直感的には、ある部分集合が元の空間全体にわたって「隙間なく」広がっている様子を捉える概念です。これは、解析学や位相幾何学において基礎となる重要な考え方の一つです。

厳密な定義

位相空間 ${X}$ の部分集合 ${A}$ が ${X}$ において稠密であることには、いくつかの同値な定義があります。最も一般的で理解しやすいものの一つは、${X}$ 内の任意の点 ${x}$ を考えたとき、その点 ${x}$ のどんなに小さな近傍（「近く」を表す開集合）を取っても、必ずその近傍内に ${A}$ の元が少なくとも一つ含まれる、という条件です。これは、${X}$ の各点が ${A}$ の中にあるか、さもなければ ${A}$ の元にいくらでも近づける、という直感的なイメージに対応しています。

この定義は、位相空間論の基本的な道具である「閉包」を用いて言い換えることもできます。部分集合 ${A}$ の閉包 $\overline{A}$ は、${A}$ 自身と ${A}$ の全ての集積点（極限点）を合わせた集合です。${A}$ が ${X}$ において稠密であることは、${A}$ の閉包 $\overline{A}$ が空間全体 ${X}$ に一致することと同値です。つまり、${X}$ の全ての点は ${A}$ の元であるか、さもなければ ${A}$ の集積点であるということです。

さらに別の同値な定義として、${A}$ を含む ${X}$ の閉集合は ${X}$ 自身に限られる、というものや、${A}$ の補集合 ${X \setminus A}$ の内部が空集合である、という表現もあります。これらの定義は、それぞれ異なる側面から稠密性を捉えていますが、位相空間という抽象的な構造において、同一の数学的な性質を記述しています。

位相空間 ${X}$ の「稠密度 (density)」とは、${X}$ の稠密部分集合の中で最も要素の数が少ないものの濃度（要素の個数）を指します。

距離空間における稠密性

特に、距離によって位相が定まる距離空間 ${X}$ においては、収束する点列という概念が使えるため、稠密性を考える上で閉包の定義がより具体的になります。距離空間における部分集合 ${A}$ の閉包 $\overline{A}$ は、${A}$ の元からなる収束点列の極限点全体と ${A}$ 自身を合わせた集合として特徴づけられます。この文脈でも、${A}$ が ${X}$ で稠密であることは、その閉包 $\overline{A}$ が ${X}$ 全体に一致することとして定義されます。

距離空間における稠密性は、関数の連続性や近似論と深く関わります。また、完備距離空間における重要な定理であるベールの範疇定理は、完備距離空間における可算個の稠密な開集合の共通部分は、再び稠密になることを主張しており、この定理の同値な表現の一つとして現れます。

具体的な例

稠密性の概念は、様々な数学的対象の中に具体例を見出すことができます。

実数空間における有理数と無理数: 実数全体の集合 $\mathbb{R}$ に通常の距離から定まる位相を入れた空間を考えます。このとき、有理数全体の集合 $\mathbb{Q}$ は $\mathbb{R}$ の稠密部分集合です。任意の実際数は、有理数であるか、またはいくらでも近い有理数によって近似できるからです。同様に、無理数全体の集合 $\mathbb{R} \setminus \mathbb{Q}$ もまた $\mathbb{R}$ の稠密部分集合となります。この例は、稠密部分集合が元の空間より真に小さい濃度を持ちうる（$\mathbb{Q}$ は可算、$\mathbb{R}$ は非可算）こと、そして、互いに素な複数の稠密部分集合が存在しうることを示しています。
連続関数空間における多項式関数: 閉区間 ${[a, b]}$ 上の複素数値連続関数全体の集合 ${C([a, b]; \mathbb{C})}$ に、関数のグラフの最大距離で定義される上限ノルムによって定まる位相を考えます。ワイエルシュトラスの近似定理によれば、この空間において、多項式関数全体の集合は稠密です。これは、任意の連続関数を、多項式によっていくらでも高精度に近似できることを意味します。
距離空間とその完備化: 任意の距離空間 ${X}$ は、その完備化（収束しないコーシー列にも極限を与えるように拡張された空間）の中に、稠密な部分集合として埋め込まれます。

主な性質

稠密性には、位相空間の構造を理解する上で役立ついくつかの重要な性質があります。

推移性: 集合の包含関係 ${A \subseteq B \subseteq C}$ が成り立つとき、もし ${A}$ が ${B}$ において稠密であり、かつ ${B}$ が ${C}$ において稠密ならば、${A}$ は ${C}$ においても稠密になります。
連続写像による保存: 位相空間 ${X}$ から位相空間 ${Y}$ への連続な全射 ${f: X \to Y}$ を考えます。もし ${A}$ が ${X}$ の稠密部分集合ならば、その像 ${f(A)}$ は ${Y}$ の稠密部分集合になります。この性質から、稠密度は位相不変量であることがわかります。
連結性との関係: 連結な稠密部分集合を持つ位相空間は、それ自身も必ず連結になります。
ハウスドルフ空間での決定性: ${Y}$ がハウスドルフ空間であるとき、${X}$ から ${Y}$ への二つの連続写像 ${f, g: X \to Y}$ が、${X}$ のある稠密部分集合上で一致するならば、それらは ${X}$ 全体で一致します。これは、ハウスドルフ空間への連続写像は、稠密部分集合上の値によって一意に決定されることを意味します。

関連概念

稠密性の概念は、位相空間論における他の多くの概念と関連しています。

極限点と孤立点: 部分集合 ${A}$ の点 ${x}$ が ${A}$ の極限点であるとは、${x}$ の任意の近傍が ${x}$ 以外の ${A}$ の元を含む場合を言います。そうでない点を孤立点と呼びます。孤立点を持たない部分集合は自己稠密と呼ばれます。
疎集合 (nowhere dense set): 疎集合とは、その閉包の内部が空集合であるような部分集合です。これは稠密集合とは対照的な性質を持つ概念であり、疎集合の補集合の内部は常に稠密になります。
可分空間 (separable space): 可算な稠密部分集合を持つ位相空間は可分空間と呼ばれます。実数空間 $\mathbb{R}$ やユークリッド空間 $\mathbb{R}^n$ は可算稠密部分集合（有理点全体の集合など）を持つため可分空間です。
分解可能空間 (resolvable space): 互いに素な二つの稠密部分集合の和として表される空間を分解可能空間と言います。
コンパクト化: 位相空間を、より大きなコンパクト空間に稠密部分集合として埋め込む操作をコンパクト化と言います。
* 稠密に定義される線型作用素: 位相線型空間において、定義域が空間全体ではなく、その稠密部分集合である線型作用素を指します。

これらの概念は、稠密性が位相空間の構造や性質を記述する上でいかに基本的で広範にわたるかを示しています。

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