自由アーベル群

自由アーベル群とは

自由アーベル群または自由 Z-加群は、数学の抽象代数学の分野において、基底を持つアーベル群のことを指します。アーベル群とは、結合性や可換性、各元に対して逆元が存在するような集合であり、通常は加法を用いて演算が行われます。また、元の逆を取る操作を「減法」として考えています。

基底の定義

基底とは、群の元の構成において重要な役割を果たす部分集合です。この基底の元を用いて、群の任意の元を有限の例外を除いて、整数係数線型結合として一意に表すことが可能です。つまり、自由アーベル群の元は基底に属する元を用いて「加法」や「減法」を行うことで生成されます。たとえば、整数全体の集合は、基底 {1} を持つ自由アーベル群として表現されます。整数の加法およびその逆の操作は可換性と結合性を持ち、整数は 1を必要な回数だけ適切に加えたり引いたりしながら記述できます。

自由アーベル群とベクトル空間

自由アーベル群の一つの特徴は、ベクトル空間の性質に似た特性を持つことです。この性質は、代数的位相幾何学や代数幾何学における応用など多岐にわたります。たとえば、自由アーベル群は鎖群の定義に使われたり、代数幾何学において因子の定義に使用されたりします。また、整格子も自由アーベル群の例です。この場合、格子論においては実線型空間の自由アーベル部分群が特に注目されます。

表現と特徴

自由アーベル群の各元は、基底 B を利用して形式和として表され、これらの元を符号付き多重集合として扱うことが可能です。また、基底 B に対して、任意の集合 B から生成される自由アーベル群は、一意に決定されます。このため、群の構成方法にはいくつかのアプローチが存在します。基底 B の元ごとに整数の加法群 Z のコピーを対応させて得られる群や、基底元の交換子を用いる方法などが考えられます。

部分群とその性質

自由アーベル群の重要な性質の一つは、そのすべての部分群がまた自由アーベル群であることです。この結果はリチャード・デデキントによって示され、無限巡回群のすべての非自明な部分群は無限巡回群であることの一般化とみなされています。

その他の応用

整数と格子に関して考えると、整数全体は基底 {1} を使って自由アーベル群を形成します。二次元の整数格子は、基底 { (0, 1), (1, 0) } によって自由アーベル群となり、任意の点を表示する方法があります。これらの群の直積は、再び自由アーベル群を形成し、また自明群 {0} も自由アーベル群の一例です。無限の自由アーベル群の直積やテンソル積も重要で、その性質により基底のカルテシアン積を持つことが知られています。

結論

自由アーベル群は、その基底を利用して元を一意的に表現できる数学的構造であり、アーベル群の中での自由度を示す概念です。これにより、数多くの応用が可能となります。自由アーベル群はまた、任意のアーベル群と密接に関連しており、普遍的性格を持つことで群の理論における重要な役割を果たしています。

もう一度検索