行列指数関数

行列の指数関数：定義と性質

線形代数学において、行列の指数関数は、正方行列を対象とする重要な関数です。通常の指数関数と同様に、冪級数によって定義されます。n次正方行列Xの指数関数e^Xまたはexp(X)は、以下の無限級数で定義されます。

$e^{X} = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{k!}X^{k}$

この級数は任意の行列Xに対して収束することが知られています。この定義から、Xが1次正方行列の場合、e^Xはその唯一の成分に対する通常の指数関数に一致します。つまり、行列の指数関数は通常の指数関数の自然な拡張と言えます。

行列の指数関数は以下の重要な性質を持ちます。X, Yをn次正方行列、a, bをスカラー、Iを単位行列、Oを零行列とするとき、以下の等式が成り立ちます。

e^O = I
e^aXe^bX = e^(a+b)X
e^Xe^-X = I
XY = YX ならば、e^Xe^Y = e^Ye^X = e^X+Y
Yが正則ならば、e^YXY-1 = Ye^XY^-1
exp(X^T) = (exp X)^T (X^TはXの転置行列)
exp(X) = (exp X) (XはXの共役転置行列)

これらの性質から、Xが対称行列ならばe^Xも対称行列となり、Xが歪対称行列ならばe^Xは直交行列となります。同様に、Xがエルミート行列ならばe^Xもエルミート行列となり、Xが歪エルミート行列ならばe^Xはユニタリ行列となります。

線形微分方程式への応用

行列の指数関数の重要な応用の一つは、線形微分方程式系の解法です。以下の常微分方程式系

$ \frac{d}{dt}y(t) = Ay(t), \quad y(0) = y_0 $

（ここでAは定行列）の解は、

$ y(t) = e^{At}y_0 $

と表すことができます。この解は行列の指数関数を用いて陽に表現されています。

さらに、非同次微分方程式

$ \frac{d}{dt}y(t) = Ay(t) + z(t), \quad y(0) = y_0 $

に対しても、行列の指数関数は解を求める上で有効です。A(t)が時間に依存する場合、すなわち

$ \frac{d}{dt}y(t) = A(t)y(t), \quad y(0) = y_0 $

のような微分方程式は、解析的に閉じた解を求めることは困難ですが、マグヌス級数によって無限級数で解を表すことができます。

可換性とベイカー＝キャンベル＝ハウスドルフの公式

実数x, yに対して、e^x+y = e^xe^yが成り立つことはよく知られています。行列に対しても、XとYが可換（XY = YX）ならば、e^X+Y = e^Xe^Yが成り立ちます。しかし、可換でない行列に対しては、この等式は一般的には成り立ちません。この場合、e^X+Yを計算するために、ベイカー＝キャンベル＝ハウスドルフの公式が用いられます。この公式は、e^X+YをXとYとその交換子に関する無限級数で表すものです。

ゴールデン-トンプソン不等式とリーブの定理

エルミート行列に関する行列指数関数の跡について、重要な不等式として、ゴールデン-トンプソン不等式があります。A, Hがエルミート行列のとき、

$ tr(exp(A+H)) \le tr(exp(A)exp(H)) $

が成り立ちます。この不等式は、可換性を仮定していません。

この不等式は3つの行列には拡張できません。リーブの定理は、この事実をある意味で保証するものです。固定されたエルミート行列Hに対して、関数

$ f(A) = tr(exp(H + log A)) $

は正定値行列錐上で凹関数となります。

指数写像

行列の指数関数は、n次正方行列全体からn次元一般線型群（正則行列の群）への写像を定義します。この写像は、複素数体上では全射であることが知られています。すなわち、任意の正則行列が、ある行列の指数関数として表現できます。

行列の指数関数の計算

一般の行列の指数関数の計算は、数値解析においても重要な課題です。MATLABやGNU Octaveなどのソフトウェアでは、パデ近似などの手法が用いられています。しかし、いくつかの特別な行列クラスについては、比較的容易に計算できます。

対角行列: 対角行列の場合、行列の指数関数は対角成分をそれぞれ指数関数に作用させることで得られます。
対角化可能行列: 対角化可能行列の場合、対角化を用いることで、対角行列の場合に帰着させることができます。
射影行列: 射影行列Pに対しては、e^P = I + (e-1)Pとなります。
冪零行列: 冪零行列Nに対しては、e^Nは有限項の級数で表すことができます。

より一般の場合、ジョルダン分解を用いることで、対角化可能行列と冪零行列の場合に帰着させることができます。

行列の指数関数の行列式

ヤコビの公式より、任意の複素正方行列Aについて、det(e^A) = e^tr(A)が成り立ちます。この等式から、行列の指数関数は常に正則行列であることがわかります。しかし、実行列の場合、この公式から、指数写像が全射ではないことがわかります。

参考文献

Bhatia, R. (1997). Matrix Analysis. Springer.
Lieb, E. H. (1973). Convex trace functions and the Wigner–Yanase–Dyson conjecture. Adv. Math.
* その他多数の文献

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