被覆空間

被覆写像

被覆写像（あるいは被覆射影とも呼ばれます）は、数学、特に位相幾何学や代数トポロジーにおいて重要な概念です。これは、ある位相空間Cから別の位相空間Xへの連続かつ全射な写像pで、底空間X上の各点が、pによる「均一な被覆」を持つ特別な開近傍を持つという性質を満たすものを指します。ここで、空間Cを被覆空間、空間Xを底空間と呼びます。

定義の詳細

より厳密に述べると、位相空間CからXへの連続全射p: C → Xが被覆写像であるとは、X上の任意の点xに対し、ある開近傍Uが存在し、以下の条件を満たすことをいいます。

1. 点xの逆像p⁻¹(x)に含まれる点それぞれに対し、それらを囲むC内の開集合が存在し、それらの共通部分が空である。
2. 逆像p⁻¹(U)は、これらの互いに交わらないC内の開集合たちの和集合として表される。
3. pの各開集合への制限写像は、その開集合からUへの同相写像となる。

この定義から、被覆写像は常に局所同相写像であることがわかります。これは、被覆空間Cと底空間Xが、それぞれの点の十分小さな近傍においては位相的に全く同じ構造を持つことを意味します。

X上の点xの逆像p⁻¹(x)はファイバーと呼ばれ、これは離散空間となります。定義における特別な開近傍Uは、均一被覆近傍と呼ばれ、空間Xを開被覆します。均一被覆近傍Uに対応するC内の開集合たちは、U上のシートと呼ばれます。直感的には、被覆空間Cは底空間Xの上にいくつかの「シート」が積み重なったような構造をしており、写像pはそれらをXに「投影」していると考えられます。

数学における役割

被覆空間の理論は、ホモトピー論、調和解析、多様体論、リーマン幾何学など、数学の様々な分野で極めて重要な役割を果たします。

例えば、ホモトピー論においては、被覆写像は基本群の研究と密接に関連しています。十分性質の良い位相空間Xに対して、Xの被覆空間の同値類の集合と、Xの基本群π₁(X)の部分群の共役類全体との間に一対一対応が存在することが知られています（被覆の分類定理）。これは、被覆空間が底空間の基本的な「穴」や連結性に関する情報を符号化していることを示しています。

また、リーマン幾何学では、リーマン面の分岐被覆写像の概念が重要であり、これは被覆写像の考え方を一般化したものです。

具体的な例

いくつかの基本的な例を挙げます。

任意の位相空間Xは、恒等写像id: X → Xによって自分自身を自明に被覆します。
複素平面から原点を除いた空間C×から自身への写像p(z) = zⁿ（nは正の整数）はn重被覆となります。
実数直線Rから単位円S¹への写像p(t) = exp(2πit)は被覆写像であり、RはS¹の普遍被覆空間です。
n次元球面Sⁿ（n > 1）は、実射影空間RPⁿの二重被覆であり、同時に普遍被覆空間です。
トーラスはクラインの壷の二重被覆です。

主な性質

持ち上げの性質

被覆写像p: C → Xにおいて、X内の経路（連続写像γ: [0,1] → X）と、その始点γ(0)の上にあるC内の点c（つまりp(c) = γ(0)）が与えられたとき、その経路γをC内へ一意に「持ち上げる」経路ρ: [0,1] → Cが存在し、p∘ρ = γかつρ(0) = cを満たします。このρをγの持ち上げと呼びます。この持ち上げの一意性は被覆写像の重要な性質の一つです。

さらに、より一般の連続写像f: Z → X（Zは弧状連結かつ局所連結な空間）についても、特定の条件下（基本群の準同型p(π₁(C,c))がf*(π₁(Z,z))を包含すること）でfの持ち上げg: Z → Cが存在し、この持ち上げも一意です。

ファイバーの構造

Xが連結である場合、すべての点x上のファイバーp⁻¹(x)に含まれる点の数は一定になります。この点の数を被覆写像の次数と呼びます。次数がnの場合、n重被覆と呼びます。

普遍被覆

連結な被覆空間Cが単連結であるとき、その被覆写像p: C → Xは普遍被覆と呼ばれます。普遍被覆は、他のすべての連結な被覆空間を「被覆する」という意味で普遍性を持っています。

Xが弧状連結、局所弧状連結、かつ半局所単連結であることと、Xが普遍被覆を持つことは同値です。普遍被覆は、存在すれば本質的に一意です。

被覆変換と正規被覆

被覆写像p: C → Xの被覆変換（またはデック変換）とは、p∘f = pを満たす被覆空間C上の自己同相写像f: C → Cのことです。被覆変換の全体は群をなし、被覆変換群Aut(p)と呼ばれます。

Cが連結かつ局所弧状連結な場合、Aut(p)は各ファイバー上で自由に作用します。この作用があるファイバー上で推移的であるとき、被覆は正規（または正則、ガロア的）と呼ばれます。正規被覆の場合、被覆変換群は底空間の基本群の正規部分群に対応し、特に普遍被覆の被覆変換群は底空間の基本群と同型になります。

モノドロミー作用

Xが連結かつ局所弧状連結であるとき、点x上のファイバーp⁻¹(x)には底空間Xの基本群π₁(X,x)が右から作用します。これをモノドロミー作用と呼びます。この作用は、点xを基点とする閉経路を被覆空間に持ち上げ、その終点がどのファイバーの点になるかによって定義されます。

被覆変換群の作用とモノドロミー作用は整合性を持っており、特に正規被覆の場合は両者が密接に関連しています。

分類空間や群コホモロジーとの関係

代数トポロジーにおいて、特定の性質（高次ホモトピー群が自明であるなど）を持つ空間Xの普遍被覆空間は可縮となる場合があります。このようなXは分類空間K(G,1)（ここでG=π₁(X)）と呼ばれ、その普遍被覆は群Gの自由ZG-分解を与える鎖複体として、群コホモロジーの計算に利用されます。

一般化

被覆空間の概念は、デック変換群が離散的でない場合や、より複雑な空間構造を持つ場合に問題が生じることがあります。これらの問題に対処するため、半被覆（semicovering）のような概念が導入され、研究が進められています。

被覆写像と被覆空間の理論は、トポロジーにおける基本的な構造理解に不可欠であり、他の多くの数学分野への応用を持つ豊かな分野です。

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