近代三角形幾何学

近代三角形幾何学

数学の一分野である近代三角形幾何学は、19世紀後半に急速に発展した、三角形の様々な性質を探求する研究領域です。三角形に関する性質の研究は、古くはユークリッドの時代にまで遡ります。『原論』では、三角形の重要な点である重心、内心、外心、垂心などが記述されています。17世紀のブレーズ・パスカルやジョバンニ・チェバ、18世紀のレオンハルト・オイラーといった多くの数学者によって研究が進められ、19世紀前半から後半にかけての三角形幾何学は近世三角形幾何学と呼ばれています。

近代幾何学の幕開け

近代三角形幾何学の礎を築いた功績は、フランスの数学者エミール・ルモワーヌに帰せられることが多いです。彼の1873年の論文「On a remarkable point of the triangle」は、ネイサン・アルトシラー・コートによって「三角形の近代幾何学全体の基礎を築いた」と高く評価されました。また、彼が著作を出版したAmerican Mathematical Monthly誌も、「近代三角形幾何学という潮流を生み出した功績は、何よりもエミール・ミシェル・アヤサント・ルモワーヌに負う」と宣言しています。ルモワーヌのこの論文を契機として、19世紀末から三角形の性質への関心は飛躍的に高まりました。1914年に出版されたクラインの数学百科事典に、100ページを超える三角形幾何学に関する記事が掲載されたことは、この高まりを示す一例と言えるでしょう。

当初、「新しい三角形幾何学（new triangle geometry）」という言葉は、ルモワーヌ点やブロカール円、ルモワーヌ線といった、三角形に関する特定の図形や点などを指すこともありました。しかし、幾何的な変換から導かれる結果を体系化する理論が開発されるにつれて、この言葉は単に対象を指すだけでなく、対象の分類や研究手法自体をも含む広い意味を持つようになりました。1887年の教科書には、「三角形を含む平面上の点Mが与えられたとき、想像上の幾何学的法則に従って、無限に多くの方法でこれに対応する第二の点M'を見つけることができる。これらの二点間には幾何学的な関係があり、その単純さは法則の選び方による。そして各幾何学的法則は、研究すべき変換方法や結合様式を生み出す」という記述があり、この新たな研究アプローチを示唆しています。

一時的な停滞期

しかし、19世紀末の高まりは一度収束し、20世紀に入ると、近代三角形幾何学はかつてのような勢いを失いました。数学史家エリック・テンプル・ベルは、その著書『数学の発展』の中で、三角形幾何学について「20世紀の幾何学者は、これら全ての宝物を幾何学の博物館に移してしまい、歴史の塵がその輝きを素早く鈍らせた」と述べています。数学者のフィリップ・J・デイヴィスは、この衰退の要因としていくつかの点を指摘しています。

専門性が低く、初等的であると感じられたこと
研究方法の可能性が枯渇したように見えたこと
扱う対象が視覚的に複雑であったこと
解析的な手法が幾何学研究において優先されるようになったこと
* タイル張り、フラクタル、グラフ理論といった他の視覚的な数学分野との競合

現代の復興とコンピュータの影響

20世紀後半から21世紀にかけてのコンピュータ技術の著しい発展は、近代三角形幾何学の復興に大きな影響を与えました。熱心な幾何学研究者たちの努力により、この分野は再び活発な研究対象となっています。その代表的な例として、クラーク・キンバーリングが運営する、三角形の心を網羅したウェブサイト「Encyclopedia of Triangle Centers」や、ベルナルド・ジベールによる三角形の三次曲線をまとめたウェブサイト「Catalogue of Triangle Cubics」が挙げられます。また、フロリダ・アトランティック大学のポール・ヨウによる学術誌「Forum Geometricorum」も、現代の三角形幾何学の発展に大きく貢献しています。

現代の主要な概念と研究対象

20世紀以降、近代三角形幾何学ではいくつかの重要な概念が導入され、体系的な研究が進められています。

三角形の心 (Triangle Center)

1994年にクラーク・キンバーリングによって導入された「三角形の心」の概念は、それまで個別に研究されてきた多くの点を統一的に扱うことを可能にしました。この概念の導入以降、三角形の諸性質を探求する上で、三角形の心は欠かせない要素となっています。三角形の心は、三角形の辺の長さa, b, cを変数とする特定の性質（斉次性、2番目と3番目の引数に関する対称性）を満たす関数fを用いて、重心座標または三線座標で表現される点の集合として定義されます。この定義によれば、傍心やブロカール点といった伝統的な点は、厳密な意味での「三角形の心」からは外れます。キンバーリングのウェブサイトには、2024年現在、62,000個を超える三角形の心が登録されています。

Central line

Central lineも、現代の三角形幾何学における重要な概念の一つであり、三角形の心と密接に関連しています。これは三線座標 (x : y : z) に関する線形方程式 f(a,b,c)x + g(a,b,c)y + h(a,b,c)z = 0 で表される直線のうち、係数 f(a,b,c): g(b,c,a) : h(c,a,b) が三角形の心であるものを指します。幾何学的には、点Xとその等角共役点Yを考えたとき、三角形ABCとYのチェバ三角形の配景の軸が、Yの三線極線であり、XのCentral lineとなります。

三角形の円錐曲線と三次曲線

三角形に関連して定義される平面上の円錐曲線や三次曲線も重要な研究対象です。代表的な円錐曲線には、外接円、内接円のほか、シュタイナー楕円やキーペルト双曲線などがあります。MathWorldには42項目もの「Triangle conics」が掲載されています。三次曲線は、点の軌跡として三角形の研究に自然に現れます。例えば、三角形の各辺に関して鏡映された3点がある点で共点となるときの元の点の軌跡は、ノイベルグ三次曲線と呼ばれる特定の三次曲線を描きます。ベルナルド・ジベールのウェブサイトには、1200個を超える三角形の三次曲線が重心座標による方程式や軌跡の情報とともに登録されています。

コンピュータによる新たな発見

コンピュータは、単に研究ツールとしてだけでなく、新たな幾何学的発見を生み出す上でも貢献しています。例えば、フィリップ・J・デイヴィスは、コンピュータが三角形幾何学に与えた影響について言及し、2015年の論文でコンピュータプログラム「Discoverer」によって発見された新しい定理の例をいくつか紹介しています。その中には、等角共役な2点の補点のチェバ積がキーペルト双曲線上にあるという定理や、特定の点が内心の垂足三角形の内接円と外接円の相似の中心であるという定理、さらに4つ以上の三角形の心を通る「一般化されたレスター円」の発見などが含まれます。また、 Sava Grozdev、奥村博、Deko Dekovといった研究者たちは、ユークリッド幾何学に特化したオンラインの百科事典の運営なども行っています。

このように、近代三角形幾何学は、過去の遺産を継承しつつ、コンピュータという強力なツールを得て、現代において再び活発な研究分野として発展を続けています。

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